Níže jsou záznamy z hromadných seminářů, které se konaly v době koronavýuky jako náhrada cvičení. Od roku 2020 se obsah trochu změnil, ale to podstatné se zde najde.
Cvičení 1. Opakování a představení matematického zápisu a logiky.
záznam.
Cvičení 2. Gcd a Bezout
záznam.
[0:00:00] gcd a spol.
[0:51:04] důkazy
Cvičení 3. Počítání modulo
záznam.
[0:00:00] počítání modulo, malý Fermat
[0:49:23] inverzní a opačné číslo
[1:06:22] důkazy
Cvičení 4. Zn
záznam.
[0:00:00] počítání v Zn, Eulerova funkce a věta
[0:10:22] inverzní číslo v Zn
[0:38:50] důkazy
Cvičení 5. Rovnice
záznam.
[0:00:00] diofantické rovnice a rovnice modulo
[0:46:49] soustavy pomocí čínské věty
[1:07:02] důkazy
Cvičení 6. Relace
záznam.
[0:00:00] relace ab=4
[0:24:45] relace y=2x
[0:34:41] mezihra: doplňují se symetrie a antisymetrie?
[0:40:11] více o důkazu antisymetrie
[0:49:24] mezihra o podstatě důkazu implikace
[0:52:13] zpět k příkladu
[0:56:14] relace s řetězci
[1:08:03] relace s polynomy podle stupně
[1:28:21] bonus: o vlivu množiny
[1:35:30] bonus: relace s funkcemi
Cvičení 7. Částečné uspořádání
záznam.
[0:00:00] ukázkový příklad s dělitelností
[0:22:42] příklad s prioritou modulů
[0:35:42] příklad na lexikografické uspořádání
[0:43:02] součinové uspořádání
[0:50:15] důkaz že součinové uspořádání je částečné uspořádání
Cvičení 8. Ekvivalence, důkazy s relacemi, zobrazení
záznam.
[0:00:00] příklad na ekvivalenci - porovnávání dle parametru
[0:16:22] zúplnění relací (doplnění tak, aby platila nějaká vlastnost)
[0:33:19] důkaz tvrzení, rozprava o staré jednoduché a nové složitější struktuře důkazu
[0:44:34] poznámka o špatně napsaném dobrém důkazu, o správné pozici prokaždítka a "předpokladu"
[0:51:10] důkaz že pro tranzitivní relace mocnina nic nového nepřidá
[0:58:18] důkaz že symetrie přežije přechod k inverzní relaci (nová forma)
[1:06:10] zobrazení: vyšetřování vlastností (prosté, na, bijekce, inverzní zobrazení)
[1:22:00] další příklad na zobrazení (více proměnných)
Cvičení 8extra. Speciál: Dukazy s relacemi
záznam.
pdf.
[0:00:00] základní struktura důkazu, čtyři příklady, čtyři vlastnosti
[0:00:00] základní situace, tvrzení: symetrie a sjednocení
[0:04:14] tvrzení: tranzitivita a sjednocení
[0:06:20] tvrzení: antisymetrie a rozdíl
[0:09:57] tvrzení: reflexivita a rozdíl
[0:10:55] pokusy o důkazy předchozích situací
[0:10:55] Přežije symetrie sjednocení?
[0:13:45] Přežije tranzitivita sjednocení?
[0:18:12] Přežije antisymetrie rozdíl?
[0:21:36] Přežije reflexivita rozdíl? Dotazy. Bonus o antireflexivitě.
[0:28:37] symetrie a různé situace, pokusy o důkaz
[0:28:37] Přežije symetrie průnik?
[0:31:00] Přežije symetrie přechod k nadrelaci?
[0:34:03] Přežije symetrie přechod k podrelaci?
[0:36:24] Přežije symetrie skládání?
[0:42:50] Přežije symetrie skládání relace se sebou neboli mocninu?
Cvičení 9. Mohutnost
záznam.
[0:00:00] první příklad, dvě základní strategie
[0:14:21] druhý příklad, použita strategie 1
[0:20:26] třetí příklad, použita strategie 2
[0:33:26] představení třetí základní strategie
[0:36:06] příklad s maticemi, použita strategie 1
[0:40:39] příklad s maticemi, použita strategie 2
[0:48:21] znovu o strategii 2
[0:51:14] příklad s polynomy konečného stupně a jeho mutace, použity strategie 1 a 2
[1:01:21] všechny polynomy, použita strategie 3, pokec o řetězcích
[1:10:40] poslední příklad
Cvičení 10. Indukce
záznam.
[0:00:00] úvodní příklad (rovnost)
[0:11:36] komentáře k oblíbeným chybám, chování výrazů při indukčním posunu
[0:22:06] příklad (sudost, rovnost)
[0:29:40] poznámka ke správnému zápisu (logické pořadí u předpokladu)
[0:35:36] příklad (nerovnost), správné a nesprávné postupy
[0:45:51] příklad (rovnost, teleskopická suma)
[0:50:48] srandapříklad (rovnost)
[0:53:22] příklad (nerovnost)
[1:03:43] důkaz s relacemi
[1:08:25] o důkazech, kvantifikátory jako implikace
[1:12:08] důkaz s relacemi
[1:16:28] důkaz s relacemi, který nevyjde, protipříklad
Cvičení 11. Indukce
záznam.
[0:00:00] příklad: uhodnutí vzorce pro rekurentně zadanou funkci, důkaz správnosti
[0:08:37] podobný příklad, ale se silnou indukcí, debata o rekurentních definicích
a smyslu indukce
[0:38:46] příklad: důkaz nerovnosti coby odhadu pro rekurzivně zadanou funkci
[0:49:14] příklad: induktivní definice množin: celá čísla
[0:56:30] příklad: induktivní definice palindromů
[1:01:51] příklad: induktivní definice: řetězce bez "11"
[1:12:57] příklad: řetěžce ze dvou složek s důkazem sudé délky indukcí
[1:19:45] bonus: cvičný příklad na rekurentně zadanou funkce
a důkaz správnosti odhadnutého vzorce
[1:26:56] opakování smyslu dvou kroků indukce.
Cvičení 12. Homogenní rekurentní rovnice
záznam.
[0:00:00] ůvodní příklad se vším podstatným
(přepis rovnice s posunem indexu, charakteristická čísla včetně vícenásobných)
[0:16:38] asymptotický růst
[0:21:30] zkouška řešení
[0:22:26] počáteční podmínky a partikulární řešení
[0:27:26] opačná úloha k počátečním podmínkám
[0:36:20] tři procvičovací příklady
[0:38:58] řešení k příkladům
Cvičení 13. Rekurentní rovnice & rovnice typu Master Theorem
záznam.
[0:00:00] úvodní příklad, algoritmus, poznámky a rady
[0:25:08] nácvik odhadu pomocí tabulky
[0:46:24] příklad
[1:18:40] příklad na odhad asymptotické rychlosti růstu sumy
[1:26:03] dva příklady na rovnici typu rozděl a panuj.
Cvičení 14. Bonus: Kombinatorika, doplňky ke zkoušce
záznam.
[0:00:00] princip inkluze a exkluze, jednoduchý příklad
[0:04:43] princip inkluze a exkluze, písemkový příklad
[0:13:35] příklady na Dirichletův šuplíkový princip
[0:32:31] příklad na rekurentní vyjádření
[0:35:45] příklad na řešitelnost rovnice
[0:41:32] důkaz tvrzení o zobrazení, verze pro relace
[0:52:52] dotaz: doplnění relace na S,T