10: Tento výraz je typu 0⋅∞⋅∞ (pro detaily se podívejte na předchozí příklady tohoto typu). Je to neurčitý součin a nenabízí se nějaký algebraický trik, takže je to na standardním postupu: Změňte součin v podíl. Teď jsou tam ale tři členy. Co s tím?

Jsou v zásadě dvě možnosti. Jedna je vzít celou nekonečnou část "nln(n)" a "dát ji dolů". Výhoda je, že pak zlomek bude určitě typu "nula nad nulou", takže bude možné použít l'Hospitalovo pravidlo; nebude tam tedy čekat žádný zádrhel (alespoň co lze zatím odhadnout). Nevýhoda je, že výraz takto vytvořený ve jmenovateli nebude zrovna pěkný a derivování jej ještě zhorší.

Jaká je alternativa? Dát jedno "nekonečno" vedle, neboli rozdělit limitu na dvě. Například je možné vzít ven logaritmus, jeho limita je nekonečno. Druhá limita pak bude arkustangens násobený n, což je stále neurčitý součin, ale mnohem jednodušší. Je to hned vidět, když se přesune n "dolů", vznikne tam n⁻¹, což se snadno derivuje. Jaká je nevýhoda tohoto postupu? Když se obě limity spočítají, bude je třeba dát dohromady. První limita je nekonečno, takže pokud by druhá limita vyšla jako nekonečno nebo číslo různé od nuly, lze použít algebru limit, dát je dohromady a všechno by bylo v pořádku. Pokud by ovšem druhá limita náhodou vyšla nula, tyto dva výsledky by udělaly neurčitý součin, takže by celá práce vyšla vniveč a muselo by se zkusit něco jiného, například ta první procedura popsaná výše.

Vyberte si, na co se cítíte. Autor je zbabělec a rozhodl se neriskovat, nápovědy budou následovat bezpečnější (ale asi delší) první způsob. Stručnější a riskantnější vám stručně naznačíme jako poznámku v další nápovědě. Zkuste si to, zkuste také vytáhnout ven to n, je to dobrý trénink.

Další nápověda
Výsledek