27: Derivace

je tak hrozná, že zde přímá metoda (najít její derivaci f ⁽⁷⁾, podívat se po kritických bodech atd) nefunguje. Je potřeba pár špinavých triků, viz zde, aby se zjistilo, že f ⁽⁶⁾ je na intervalu ⟨0,2⟩ vlastně rostoucí a tudíž
      max = f ⁽⁶⁾(2) = −19sin(2)/8 − 21cos(2)/4 = 0.02518950...,
      min = lim ₀ ( f ⁽⁶⁾) = −1/7.
Když se vezme v absolutní hodnotě, je maximum dáno větší hodnotou (v absolutní hodnotě) z těchto dvou, což je 1/7. Proto

Teď to použijeme při odhadu chyby integrace.

Alternativa: Výpočty Taylorova polynomu dávají

Všimněte si zajímavé věci, že tohle je přesně to, co se dostane, když se najde T₆ pro sin(x) a pak se vydělí x.

Pak vyjde

Odhad chyby používá stejné maximum, proto dostaneme

Odhad chyby je horší, což se dalo čekat. Střed a = 0 je na jednom konci integračního intervalu, takže na druhém konci už není aproximace až tak dobrá, zatímco střed a = π/2 je blíže ke středu tohoto intervalu. Z praktického pohledu je ale stejně lepší ten alternativní přístup, protože ten získaný Taylorův polynom se snadno dále rozšíří, hravě zlepšíme přesnost tím, že vezmeme třeba T₇, zatímco v případě středu a = π/2 by zvyšování stupně znamenalo další opravdu hnusné derivace.

Výsledek