Použití derivace pro porovnávání funkcí: Přehled metod

Pokud chcete nějaký text o tomto tématu sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.

Nechť f a g jsou funkce definované na intervalu I od a do b.

Dokazujeme, že f = g na I:
Krok 1. Dokažte, že f ′ = g′ na I ^o.
Krok 2. Najděte nějaké c z I takové, že f (c) = g(c), nebo ukažte, že f (a⁺) = g(a⁺) nebo že f (b^-) = g(b^-) (připomeňme, toto označuje jednostranné limity).

Dokazujeme, že f  je konstantní na I:
Krok 1. Dokažte, že f ′ = 0 na I ^o.
Krok 2. Hodnota konstanty se zjistí jako f (c) pro nějaké c z I, nebo f (a⁺) či f (b^-).

Dokazujeme, že f  ≤ g na I:
Krok 1. Dokažte, že f ′ ≤ g′ na I ^o.
Krok 2. Ukažte, že f (a)  ≤ g(a) nebo že f (a⁺) ≤ g(a⁺).
Alternativa:
Krok 1. Dokažte, že f ′ ≥ g′ na I ^o.
Krok 2. Ukažte, že f (b) ≤ g(b) nebo že f (b^-) ≤ g(b^-).

Dokazujeme, že f  ≥ 0 na I:
Krok 1. Dokažte, že f ′ ≥ 0 na I ^o.
Krok 2. Ukažte, že f (a) ≥ 0.

Verze pro ostré nerovnosti:

Dokazujeme, že f  < g na I:
Krok 1. Dokažte, že f ′ < g′ na I ^o.
Krok 2. Ukažte, že f (a)  ≤ g(a) nebo že f (a⁺) ≤ g(a⁺).

Dokazujeme, že f  > 0 na I:
Krok 1. Dokažte, že f ′ > 0 na I ^o.
Krok 2. Ukažte, že f (a) ≥ 0.

Pro příklady viz sekce Triky s Větou o střední hodnotě v části Teorie - Věta o střední hodnotě, nebo Řešené příklady.