Příklad: Dokažte, že funkce

f (x) = x⁴ + 6x² + 24x − 13

má přesně dva kořeny.

Řešení: Toto tvrzení dokážeme ve dvou krocích. Nejprve ukážeme, že nemůžeme mít víc než dva kořeny. Pak ukážeme, že dva vlastně máme.

1. Abychom ukázali, že nemůžeme mít víc než dva kořeny, použijeme jeden z důledků Rolleovy věty, viz sekce Triky s Větou o střední hodnotě v části Teorie - Věta o střední hodnotě.

Sporem: Předpokládejme, že máme tři nebo více nulových bodů. Podle výše zmíněného Faktu by pak derivace musela mít dva či více kořenů. Derivace je

f ′(x) = 4x³ + 12x + 24

a coby polynom stupně tři by ty dva kořeny klidně mít mohla, bez další práce se víc nedozvíme. Namísto zkoumání této první derivace zkusíme ještě jednou aplikovat onen Fakt.

Předpokládáme-li, že funkce f má tři či více kořenů, pak by její derivace musela mít dva či více kořenů a druhá derivace by musela mít jeden či více kořenů. Nicméně druhá derivace je is

f ′′(x) = 12x² + 12

a evidentně nemá žádný kořen, což je spor.

To dokazuje, že můžeme mít nejvýše dva kořeny.

2. Teď ukážeme, že opravdu máme dva kořeny. Existují sice vzorce pro kořeny polynomu čtvtého stupně, ale raději je zde nepoužijeme, protože jsou hnusné a stejně si je nepamatujeme. Namísto toho zkusíme obecnější přístup, který má tu výhodu, že by zabral i pro polynomy vyšších stupňů.

Použijeme Větu o mezihodnotě (viz Spojitost v části Funkce - Teorie - Reálné funkce). Začneme dosazovat pěkná čísla do f a čekat, až hodnoty změní znaménko. Začneme s 0 a budeme se posunovat kladným a záporným směrem o 1.

x:	−3	−2	−1	0	1
f (x):	50	−21	−30	−13	18
sign:	+	−	−	−	+

Protože je funkce f spojitá a mění znaménko ve dvou místech, podle Věty o mezihodnotě usoudíme, že tato funkce má nulový bod někde v intervalu (−3,−2) a další v intervalu (0,1). Tím je důkaz hotov, teď víme jistě, že daná funkce má přesně dva kořeny.

Poznámka: Můžeme použít metodu bisekce (viz část Posloupnosti - Teorie - Aplikace), abychom dále zpřesnili tyto dva kořeny. Začneme prvním.

f (−2.5) = 3.5625 > 0, tento kořen je tedy mezi −2.5 a −2.
f (−2.4) = −2.8624 < 0, tento kořen je tedy mezi −2.5 a −2.4.
f (−2.45) = 0.24500625 > 0, tento kořen je tedy mezi −2.45 a −2.4.

Now we similarly look at the second root.

f (0.5) = 0.5625 > 0, tento kořen je tedy mezi 0 a 0.5.
f (0.4) = −2.4144 < 0, tento kořen je tedy mezi 0.4 a 0.5.
f (0.45) = −1.91295625 < 0, tento kořen je tedy mezi 0.45 a 0.5.

Podobně bychom mohli tyto dva kořeny určit s libovolnou požadovanou přesností.

Zpět na Řešené příklady - Věta o střední hodnotě