Příklad: Na přímém pobřeží je strom a přesně naproti němu,
Řešení: Takto vypadá situace.
Potřebujeme její matematický popis. Důležité věci jsou paprsek, jehož pozice
je dána jednoznačně jeho směrem, a světelná skvrna, jejíž pozice se mění
podél pobřeží. Uvedeme tedy dvě proměnné coby funkce času. Jedna bude pozice
"prasátka"
Tato volba je rozumná ze dvou důvodů. Za prvé, dovoluje nám to vyjádřit důležitá data ze zadání pomocí derivace, jmenovitě známe rychlost, jakou se mění úhel, a chce se po nás rychlost světelné skvrny, tedy rychlost změny její pozice. Vidíme tedy, že potřebujeme porovnat rychlosti změny, což je další indikace, že naše volba proměnných byla rozumná.
Pokud chceme najít vztah mezi rychlostmi změny, musíme nejprve najít vztah mezi funkcemi samotnými. To je docela snadné, z pravoúhlého trojúhelníka v obrázku máme
Obě strany této rovnice jsou ve skutečnosti funkcemi času, takže je můžeme zderivovat a dostaneme zase rovnici, nezapomeneme na pravé straně použít řetízkového pravidla pro derivaci složené funkce.
Tato rovnice samozřejmě funguje jen pro úhly, kdy světlo svítí směrem k
pobřeží, tedy pro úhly z intervalu
a jeho
posunů o
Rychlost rotace napravo je dána tím, že světlo udělá celý kruh, tj. úhel
Zase to platí jen pro úhly popsané výše. Všimněte si, že se tento vzorec
chová způsobem, který souhlasí s naší praktickou zkušeností. Rychlost
světelné skvrny je nejmenší přesně naproti majáku (když je úhel nulový), a
čím dále jsme od stromu, tím rychleji skvrna utíká. Zbývá najít rychlost v
místě, kde stojíme. Tam je příslušný úhel roven
To dělá nějakých