Příklad: Najděte Taylorův polynom stupně 3 a stupně n se
středem
f (x) = ln(1+2x).
Řešení: Taylorův polynom v a stupně 3 je dán vzorcem
Potřebujeme tedy spočítat první tři derivace a pak do nich dosadit
Teď toto a a dosadíme do obecného vzorce a dostaneme
Teď se podíváme na problém, jak uhodneme Taylorův polynom stupně n. Pro snadné případy je někdy možné to správně uhodnout z Taylorova polynomu stupně 3 nebo 4, ale zde by to mohlo být zrádné, ukážeme tedy postup, který je docela spolehlivý. Hlavní finta je nedívat se na čísla v pravém sloupci, ale zaměřit se na levý sloupec, kdy identifikujeme jednotlivé faktory, které se opakovaně objevují při výpočtu derivací. Co se děje, když derivujeme? Zopakujeme si výpočet těch derivací výše, abychom viděli, co se děje.
Už bychom měli vidět, jak to funguje. S každou derivací dostaneme navíc
dvojku, přibude (−1) a pak rostoucí řetězec přirozených čísel, který vytváří
faktoriál. Všimneme si také, že 2 dostaneme přesně tolikrát, kolikrát jsme
derivovali, ale mocnina u (−1) a faktoriál jsou menší o jedno. Mocnina u
Ověříme, že to souhlasí s prvními třemi derivacemi, které jsme předtím
spočítali, takže se zdá rozumné předpokládat, že to máme dobře, ale jen pro
jistotu to dokážeme matematickou indukcí. Pro
Toto dokazuje, že náš odhad
Ověřte, že první tři členy tohoto obecného vzorce souhlasí s naším T3 výše.
Poznámka: Je snadnější způsob, jak najít Tn.
Jedním z klasických výsledků, který se dá najít snad v každé učebnici
zabývající se Taylorovými polynomy, je Taylorův polynom pro funkci
Když tam dosadíme
Poznámka: Toto je pěkný příklad, že při aproximaci pomocí Taylorových
polynomů je třeba být opatrný. Pokud tuto aproximaci použijeme pro