Implicitní derivování: Přehled metod

Uvažujme implicitní funkci y = y(x) danou rovnicí

F(x,y) = c

na okolí nějakého bodu. Její derivaci najdeme zderivováním obou stran definující rovnice, pak vyřešením pro y′.

Více derivování dává derivace vyššího řádu.

Příklad: V Řešených příkladech v části Funkce - Řešené příklady - Implicitní a parametrické funkce jsme dokázali, že rovnice

y³ − 3xy = 1

definuje funkci na okolí bodu (0,1). Najděte y′(0).

Řešení: Zderivujeme rovnici:

[y³]′ − [3xy]′ = [1]′
3y²[y]′ − (3[x]′y + 3x[y]′) = 0
3y²y′ − 3y − 3xy′ = 0.

Vyřešením pro derivaci a pak dosazením x = 0, y = 1 dostaneme

Poznámka: Tečný vektor k implicitní křivce F(x,y) = C se dá najít jako v = (dF/dy,−dF/dx).