Příklad: Najděte tečnu v bodě (0,2) ke křivce dané implicitní rovnicí

x⁴ − 4xy + y⁴ = 16.

Řešení: Můžeme dokázat pomocí Věty o implicitní funkci (viz Funkce - Teorie - Implicitní a parametrické funkce - Implicitní funkce), že na okolí daného bodu (0,2) daná rovnice opravdu definuje funkci. Rovnice tečny vyžaduje znalost bodu - což známe - a směrnice, která je dána derivací funkce, která definuje graf.

Bohužel, z dané rovnice není možné vyjádřit y explicitně jako funkci x, najdeme tedy její derivaci pomocí implicitního derivování. Nejprve vezmeme danou rovnici a zderivujeme obě strany vzhledem k x, maje na paměti, že y je ve skutečnosti také funkcí x.

4x³ − 4y − 4xy′ + 4y ³y′ = 0.

Teď tuto rovnici vyřešíme pro y′, pak do ní dosadíme x = 0 a y = 2.

Teď už známe směrnici tečny a můžeme napsat její rovnici:

y − 2 = (1/4)⋅(x − 0),     tedy     y = (1/4)⋅x + 2.

Poznámka: Určovat tvar implicitní křivky je docela záludný problém. Asi jediná věc, kteoru je možné zjistit relativně snadno z dané rovnice, je fakt, že výraz nalevo je symetrický vzhledem k x a y, což znamená, že výsledný obrázek bude symetrický vzhledem k počátku.

Pomocí pokročilých metod (nebo vhodného software) se dá zjistit, že tvar vypadá jako zaoblený konvexní diamant prodloužený ve směru hlavní diagonály.

Mimochodem, to prodloužení je dáno prostředním členem v levé straně dané rovnice. Představte si, že tam dáme "Axy" namísto "− 4xy". Jak změna A ovlivní obrázek? Znaménko A určuje orientaci. Pro A záporné se tvar natahuje podél hlavní diagonály (jako v našem příkladě), pro A kladné se natáhne podél vedlejší diagonály. Velikost A (v absolutní hodnotě) určuje rozsah tohoto natáhnutí, pro A = 0 tedy dostaneme tvar, který není deformován v žádném směru, je to zaoblený konvexní čtverec.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Implicitní a parametrické funkce