Příklad: Prozkoumejte omezenost a monotonii posloupnosti

Řešení: Zkusíme spočítat prvních několik členů: a₂ = 4, a₃ = 5/2, a₄ = 2, a₅ = 7/4. První dojem tedy je, že posloupnost by mohla být klesající. Jaká je dlouhodobá tendence? Když je n velké, části "+2" a "−1" lze ignorovat (viz Intuitivní výpočty v části Teorie - Limita) a dostaneme n/n = 1. Vypadá to, že posloupnost jde k 1, takže by měla být omezená (viz příslušná věta v části Teorie - Limita - Základní vlastnosti). A protože 1 je menší než a₅ = 7/4, zdá se docela možné, že tato posloupnost jde pořád dolů. Tipneme si tedy, že je klesající.

Důkaz omezenosti:
Za prvé, evidentně a_n > 0 pro n ≥ 2. To ukazuje, že tato posloupnost je omezená zdola.

Z našich výpočtů na začátku odhadujeme, že a_n ≤ 4. Zkusíme to dokázat. Všimněte si, že předpokládáme n ≥ 2, a proto níže násobíme nerovnost kladným číslem; nemusíme proto měnit směr této nerovnosti (uděláme o tom po pravé straně poznámku).

Poslední nerovnost platí pro všechna n ≥ 2. Protože operace byly ekvivalentní, platí také první nerovnost, přesně jak jsme potřebovali.

Důkaz monotonie:
Teď zkusíme dokázat, že daná posloupnost je klesající. Všimněte si zase, že násobíme nerovnost kladným číslem.

Protože poslední nerovnost je pravdivá a operace byly ekvivalentní, platí také první nerovnost a monotonie je dokázána.

Můžeme také zkusit metody z teorie funkcí. Přejdeme na funkce (viz Posloupnosti a funkce v části Teorie - Limita) a podíváme se na monotonii funkce . Najdeme derivaci:

Protože je tato derivace vždy záporná, funkce f je klesající na intervalu (1,∞) a tudíž také daná posloupnost je klesající.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Základní vlastnosti