Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)

Řešení:
Co se stane, když dosadíme nekonečno? Dostaneme
(N + 3/2)∞ = N∞.
Tento výraz se vyskytuje v
algebře N jako neurčitý výraz;
znamená to, že se na něj musíme podívat blíže.
Co se děje, když jde n do nekonečna? Sinus osciluje mezi
−1 a 1, takže
celá závorka osciluje mezi 1/2 a 5/2 (absolutní hodnoty tedy není třeba).
Protože sinus je opakovaně téměř roven −1 a 1 znovu a znovu až do nekonečna,
vyplývá z toho, že 3/2 + sin(n) se
opakovaně blíží 1/2 a
5/2 znovu a znovu jak n jde do nekonečna. Daná posloupnost má tedy
podposloupnost, která je téměř jako (1/2)n, a také má
podposloupnost, lkterá je téměř jako (5/2)n. Když si teď
připomeneme
geometrickou posloupnost,
víme, že
(1/2)n→0
a
(5/2)n→∞.
To naznačuje, že máme dvě podposloupnosti, každá konvergující někam jinam,
což by znamenalo, že celá daná posloupnost nemá limitu.
Jak to ale dokážeme korektně? Nemáme {(1/2)n} ani
{(5/2)n}, máme
"téměř (1/2)n" a
"téměř (5/2)n" a měli bychom už vědět, že "téměř" může být
dost nebezpečné, když dojde na limitu, zvlášť když se ono "téměř" umocňuje na
velkou mocninu.
Asi nejjednosdušší je použít to, že se sin(n) přibližuje znovu a znovu
libovolně blízko k −1 a 1 (viz Důležité příklady v části Teorie - Limita). Když si
vybereme malou toleranci, sinus se nekonečně mnoho krát dostane v mezích této
tolerance od −1 a od 1. Můžeme napríklad zvolit 1/4 jako toleranci. Pak
existuje nekonečně mnoho n, pro které
sin(n) < −3/4, a
nekonečně mnoho n, pro které
sin(n) > 3/4.
Nejprve tedy uvažujme podposloupnost přirozených čísel sestávající se z
n splňujících sin(n) < −3/4. Pro tuto
podposloupnost máme také
(sin(n) + 3/2) < 3/4
a proto

(V tomto srovnání jsme uvažovali pouze n z této konkrétní
podposloupnosti). Podle
Věty o sevření
tedy tato konkrétní podposloupnost konverguje k nule.
Podobně když teď uvažujeme podposloupnost určenou těmi n, pro které
sin(n) > 3/4, dostaneme
(sin(n) + 3/2) > 2 a tudíž

Proto tato konkrétní podposloupnost jde do nekonečna. Protože daná
posloupnost (3/2 + sin(n))n má dvě
podposloupnosti, které mají rozdílné limity, celá posloupnost nemá limitu
(viz Teorie - Limita - Základní
vlastnosti).
Poznámka: Abychom lépe ocenili, jak je toto řešení delikátní, podíváme
se na následující příklad:

Nejprve se musíme zeptat, jestli to má vůbec smysl. Aby měla obecná mocnina
smysl, musíme zajistit, že je báze kladná. Absolutní hodnota zabrání záporným
číslům, aby se objevily, ale co nula? Víme, že sinus je roven nule pouze v
celých násobcích π, ale je
jen jeden z nich, který dává celé číslo, jmenovitě nula. Všechny ostatní
násobky pí jsou iracionální čísla, z čehož vyplývá, že dokud je n
přirozené číslo, sin(n) nemůže být nula. Výborně.
Víme tedy, že posloupnost má smysl, jak je to s jeho limitou? Čísla
|sin(n)| oscilují mezi 0 a 1, takže když je umocníme na velké číslo,
začnou se dít věci. Když je n opravdu opravdu veliké a
|sin(n)| je o dost menší než 1, pak je výsledná mocnina skoro nula.
Víme například, že
(7/8)∞ = 0,
takže všechna n, pro které
|sin(n)| < 7/8 a která jsou dost velká, dají nakonec
velice malou mocninu. Můžeme tedy udělat první pozorovnání:
Když se podíváme na n, pro které
|sin(n)| < 7/8,
dostaneme podposloupnost konvergující k nule. Všimněte si, že většina
přirozených čísel je v této podposloupnosti, ale je nekonečně mnoho
n, která tam nejsou, pro které je
|sin(n)| blíže k 1 než 7/8.
Co se tedy stane s těmito n "navíc"? Jsou dvě možnosti. Jedna je, že
také tyto n, když se stanou velkými, udělají
|sin(n)|n libovolně malým. Celá posloupnost by pak
šla k nule.
Je nicméně také možné, že tyto "odpadlé" n tvoří podposlouponost
{|sin(n)|n}, která nekonverguje k nule, a potom by -
jako v předchozím případě - daná posloupnost neměla limitu. Která alternativa
je správná?
Můžeme zkusit zahrnout více n v naší "nulové podposloupnosti" tím, že
použijeme menší toleranci. To ale nepomůže. Například množina n
splňující |sin(n)| < 11/12 je rozhodně větší, než ta
použitá s 7/8, ale stejně je pořád nekonečně mnoho n, které do ní
nejsou zahrnuty. Podobně, pro libovolné
q < 1 vždy
existuje nekonečně mnoho n, které udělají sinus větší než q a
tak nejsou zahrnuty v části, která jde k nule. Toto ukazuje, že zmenšením
tolerance nemůžeme ukázat, že daná posloupnost konverguje k nule.
Co když se pokusíme použít ty n s velkým sinem ke zformování druhé
podposloupnosti, která by měla jinou limitu? Nedokážeme to, protože pro ně
nemáme dobrý dolní odhad. Zkusme třeba uvažovat množinu n splňujících
|sin(n)| > 7/8. Dostaneme pak srovnání
|sin(n)|n > (7/8)n→0.
Srovnání tedy říká, že jestliže podposloupnost těchto n konverguje,
pak ta výsledná limita je 0 či více, což vůbec nepomůže. Toto ukazuje rozdíl
mezi dvěma příklady, které zde zkoumáme. V prvním příkladě jsme dokázali
oddělit základ od 1 správným směrem. Nejprve jsme našli pro sinus horní
odhad 3/4, a 3/4 je menší než 1. Protože
(3/4)∞ = 0,
tento odhad přinutil příslušnou podposloupnost jít k nule. V druhém příkladě jsme
to mohli udělat také.
V prvním příkladě jsme pak našli dolní odhad pro sinovou bázi pomocí 2, což
je větší než 1, a protože
2∞ = ∞,
srovnání přinutilo tuto podposloupnost jít jinam než k nule. A to
je přesně ten rozdíl, v druhém příkladě nejsme schopni najít dolní odhad pro
|sin(n)| číslem větším než 1!
Vraťme se k druhému příkladu. Máme tu zlobící nekonečnou množinu n pro
která je |sin(n)| téměř 1, takže nevíme, jak přinutit
|sin(n)|n jít k nule či k nějakému kladnému číslu.
Víme, že
1∞
může být cokoliv, protože to je neurčitá mocnina, a bohužel pro nás,
sin(n) může být libovolně blízko k 1 i pro velice velká čísla
n. Není to nicméně nikdy přesně rovno 1.
sin(n) je vždy o něco
méně než jedna a umocňujeme to na ohromná čísla. Teď si připomeňme, že ty
neurčité výrazy jsou vždy o rovnováze částí. Výraz
1∞
může dát nulu za
předpokladu, že posloupnost v bázi jde k 1 pomaleji (v určitém smyslu) než
posloupnost v exponentu jde do nekonečna; zhruba řečeno, nekonečno musí být
kvalitnější než 1 je jedničkou. Takže otázka teď je: Mohlo by být pravda, že
pokaždé když se vezme n, pro které je
|sin(n)| velice blízký k 1, pak je n už tak
velké, že |sin(n)| umocněno na n je
opravdu malé?
V našem případěm pokud je n vždy mnohem větší (bližší k nekonečnu) než
je |sin(n)| k 1, pak daná posloupnost konverguje k nule. Jak o tom
rozhodneme? To není možné s nástroji, které máme. Tento příklad vyžaduje
velice důkladnou a obtížnou analýzu funkce sinus. Jak vidíte, odpověď na tuto
limitu záleží na docela obskurních znalostech; naštěstí se takové věci
nestávají často.
Zpět na Řešené příklady - Limita