Příklad: Vyšetřete konvergenci následující posloupnosti funkcí:

Řešení: Než začneme, všimněte si, že bod x = −1 není v definičních oborech funkcí s lichým k, proto jej rovnou vyřadíme ze všech dalších úvah.

Nejprve se podíváme na bodovou konvergenci. Budeme považovat x za parametr a spočítáme limitu vzhledem ke k. Když pošleme k do nekonečna, tak limita x^k záleží na x, viz geometrická posloupnost. Musíme proto pro vyčíslení této limity použít tři rozdílné strategie. Pro |x| < 1 členy x^k vymizí; pro |x| > 1 se stanou dominantními a nejlepší přístup je zbavit se jich krácením; pro x = 1 mají všechny funkce stejnou hodnotu a dostáváme konstantní posloupnost.

Závěr: Daná posloupnost konverguje na svém oboru konvergence, který se skládá ze všech čísel kromě x = −1, k funkci

Jak je to se stejnoměrnou konvergencí? Začneme zkoumáním rozdílu mezi f a jednou konkrétní f_k na právě zjištěném oboru konvergence. Zase musíme provádět naše zkoumání na třech oblastech. Za prvé, v x = 1 je rozdíl vždy nulový. Pro |x| < 1 dostaneme

Kritický bod x = 0 je evidentně lokální minimum dané funkce (v absolutní hodnotě), takže je supremum dáno hodnotami v krajních bodech. Limita v 1^- dává 1/2, supremum je tedy přinejmenším 1/2 pro všechna k a tudíž nemůžeme dostat stejnoměrnou konvergenci na (−1,1). Všimněte si, že stejně špatné je to v −1. Jestliže je k sudé, tak je limita v (−1)⁺ zase 1/2, ale jestliže je k liché, tak je tam limita dokonce mínus nekonečno!

Stejnoměrná konvergence na celém oboru konvergence byla právě vyloučena, ale abychom si doplnili obrázek, podíváme se ještě na dva intervaly dané podmínkou |x| > 1.

Vidíme, že výraz v supremu je rostoucí pro x > 1 a monotonní pro x < −1 (rostoucí když je k sudé, klesající pro k liché). Supremum je proto dáno hodnotami v krajních bodech. Limita v nekonečnu a mínus nekonečnu je 0, takže tam není problém. Limita v 1⁺ je 1/2, takže supremum na množině dané x > 1 je 1/2 a stejnoměrná konvergence je tam vyloučena. A konečně také pro x < −1 nedostaneme stejnoměrnou konvergenci, limita (a supremum) jsou totiž buď 1/2 (pro k sudé) nebo nekonečno (pro k liché).

Vidíme, že stejnoměrné konvergenci škodí chování dané posloupnosti na obou stranách 1 a −1. To napovídá, že když tyto body odřízneme, pak dostaneme stejnoměrnost. Naše pozorovnání o monotonii naznačuje, že když zvolíme nějaké a > 0 (a aby fungoval i prostřední interval, musí být a malé, menší než 1), pak bychom měli dostat stejnoměrnou konvergenci na intervalech M = (−∞,−1-a⟩, M = ⟨−1+a,1-a⟩ a M = ⟨1+a,∞). Potvrdíme to vyhodnocením suprem pro tyto tři množiny.

Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci f stejnoměrně na množinách typu M = (−∞,−1-a⟩, M = ⟨1+a,∞), M = ⟨−1+a,1-a⟩ pro libovolné a > 0 (v posledním případě také vyžadujeme a < 1).

Pro ilustraci ukážeme obrázek s některými funkcemi.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí