Matematické omalovánky - jak na ně

Zadání omalovánky může vypadat třeba takto:

Nalevo vidíme výrazně orámované šedé plátno neboli canvas, v tomto případě čtverec, a také souřadnicovou soustavu, v tomto případě kartézskou, jejíž počátek je v levém dolním rohu čtverce. Toto plátno si překreslete na papír, pokud jste se tedy nerozhodli vyzkoušet klikací podobu. V plné verzi je plátno ponecháno bílé, aby bylo možné obrázek vytisknout. Cílem je toto plátno správně obarvit.

Na pravé straně vidíme specifikace, které určují vybarvení obrázku. Abychom zjistili barvu v konkrétním bodě plátna, dosadíme souřadnice tohoto bodu do zadané obarvovací funkce ƒ, výslednou hodnotu poté najdeme na barevné stupnici a tím se určí barva bodu. Například dosazením bodu (0,3) zjistíme, že ƒ(0,3) = |-3| = 3, podle stupnice je tedy obarven červeně.

Základní strategie vychází z důvěry, že zadaná obarvovací funkce není nějaká divoká příšera, takže se zadané plátno rozpadne na několik oblastí rozumného tvaru, z nichž každá má svou barvu. Abychom barvu takové oblasti určili, stačí vybrat libovolný bod z jejího vnitřku, zjistit výše popsaným postupem jeho barvu a pak takto obarvit celou oblast.

Základní verze

Zadání základní verze obsahuje i naznačené hranice mezi jednotlivými oblastmi:

Stačí tedy pro každou oblast určit barvu. V prostředním šikmém pruhu leží třeba bod (1,1). Spočítáme ƒ(1,1) = |0| = 0, podle tabulky to dává bílou. Komu se nechce malovat pastelkami na papír, tak kliknutím na barevné škále zvolí bílou (zvýrazní se její lemování) a pak klikne někam do pruhu, on se vybarví.

V pravém dolním trojúhelníku najdeme třeba bod (3,1/2). Spočítáme ƒ(3,1/2) = |-2.5| = 2.5, podle tabulky to dává červenou. Kliknutím na škálu a do trojúhelníku jej můžeme obarvit.

V levém horním trojúhelníku najdeme třeba bod (1/2,3). Spočítáme ƒ(1/2,3) = |2.5| = 2.5, podle tabulky to dává červenou.

Dostáváme obrázek

Trik: Červená leží na okraji barevné škály, takže si můžeme představit, že pokračuje i dále. Díky tomu si můžeme vybrat bod, který leží na okraji pravého horního trojůhelníka (ale ne na rozhraní s prostředním pruhem), třeba (0,4). Pak počítáme ƒ(0,4) = 4, což je trochu příjemnější.

Plná verze

U plné verze je dáno jen plátno, je tedy potřeba určit ony čárkované hranice mezi oblastmi. K tomu slouží hranice mezi barvami na barevné škále. U našeho příkladu je jen jedna hranice, jmenovitě mezi bílou a červenou, a nastane, když se hodnota funkce ƒ rovná dvěma. To nám dává rovnici křivky ƒ = 2, kterou si prohlédneme blíže.

| y - x | = 2
y - x = ±2
y = x + 2   nebo   y = x - 2

Dostali jsme dvě rovnice přímek, což jsou přesně ty čárkované přímky vyznačené u základní verze. Pokud bychom měli více barev, bylo by i více přechodů a více křivek k zakreslení.

Zpět na hlavní stránku