Algebra limit (s nekonečnem)

Sčítání/odčítání:
Reálná čísla se sčítají/odčítají jako obvykle.
Nekonečno se ve většině případů chová rozumně:
∞ ± L = ∞ pro všechna reálná čísla L,
∞ + ∞ = ∞.
Neurčitý výraz: ∞ − ∞.

Násobení/dělení:
Reálná čísla se násobí jako obvykle, také dělení funguje normálně pokud je jmenovatel nenulový.
1/0⁺ = ∞ a 1/0^- = −∞, kde 0⁺ zastupuje posloupnost konvergující k nule, jejíž členy jsou všechny kladné, a 0^- zastupuje posloupnost konvergující k nule, jejíž členy jsou všechny záporné (vlastně stačí mít tu kladnost/zápornost jen na "konci" posloupnosti, tj. po vynechání "začátku", konečného počtu členů posloupnosti). Viz poznámka na konci.
Nekonečno se chová pěkně v následujících případech:
∞⋅L = ∞ a ∞/L = ∞ pro všechna kladná L,
∞⋅L = −∞ a ∞/L = −∞ pro všechna záporná L,
L/∞ = 0 pro všechna reálná čísla L,
∞⋅∞ = ∞.
Neurčité výrazy: ∞⋅0, a .
Výrazy L/0 pro nenulové L a ∞/0 nebývají zahrnovány mezi neurčité výrazy, ale patří tam, protože mohou dát tři rozdílné odpovědi: ∞, −∞ a "neexistuje". Pro detaily konzultujte Poznámky níže.

Mocniny:
Reálná čísla pracují v mocninách jako obvykle; mimo jiné to znamená, že mocnina A^B funguje jako obvykle pro kladné A. Když A kladné není, je třeba být opatrný, například 0⁰ je neurčitý výraz (viz dále).
Nekonečno se chová pěkně v následujících případech:
∞^L = ∞ pro všechna kladná L, ∞^L = 0 pro všechna záporná L,
L^∞ = ∞ jestliže L > 1, L^∞ = 0 jestliže |L| < 1, a L^∞ neex. jestliže L < −1,
L^−∞ = 1/L^∞ = (1/L)^∞, takže L^−∞ = 0 jestliže |L| > 1, L^−∞ = ∞ jestliže 0 < L < 1, a L^−∞ neex. jestliže −1 < L < 0.
∞^∞ = ∞.
Neurčité výrazy: 1^∞, 0⁰, ∞⁰.

Některé elementární funkce:
e^∞ = ∞, proto také e^−∞ = 1/e^∞ = 1/∞ = 0.
ln(∞) = ∞ a ln(0⁺) = −∞, kde 0⁺ zastupuje posloupnost konvergující k nule, jejíž členy jsou všechny kladné (či alespoň kladné až na konečný počet vynechaných členů).
arctg(∞) = π/2, arctg(−∞) = −π/2.

Poznámky

Ve výše vypsaných rovnostech libovolný daný symbol nezastupuje opravdové číslo; spíše symbolizuje posloupnosti s limitou rovnou tomuto symbolu. Například 2⋅3 = 6 v tomto kontextu nehovoří o reálných číslech, ale znamená to: "Když je posloupnost konvergující k 2 vynásobena posloupností konvergující k 3, výsledná posloupnost konverguje k 6." To vysvětluje, proč někdy algebra limit selže v případech, které by se zdály jasné, kdybychom pracovali s reálnými čísly. Například jedna na libovolnou mocninu je jedna, ale jedna na nekonečno je neurčitý výraz. Proč?

Jedna na nekonečno je ve skutečnosti zkratka pro posloupnost konvergující k 1 umocněnou na posloupnost, která konverguje k nekonečnu. Protože tato operace se dělá člen po členu, obdržíme posloupnost mocnin {a_n ^b_n}, kde základy a_n jsou nakonec blízko k 1, ale nemusí být přesně jedna. Mohou být například všechny trochu větší než 1. Protože jsou umocněny na velká čísla (exponenty b_n jdou do nekonečna), mohou dávat velké výsledky a vzniklá posloupnost může klidně konvergovat do nekonečna. Vše záleží na rovnováze. Jestliže se exponenty stanou opravdu velkými dřív, než mají základy příležitost se přiblížit k 1, pak "1 na nekonečno" může být velké číslo. Naopak pokud se základy přiblíží k 1 velice rychle, zatímco exponenty se do nekonečna loudají, pak blízkost bází k 1 může převážit nad růstem exponentů a "jedna na nekonečno" múže být blízké k jedné.
Podobně pokud jsou báze menší než jedna a jdou k jedné pomalu, zatímco exponenty se zvětšují velice rychle, pak "jedna na nekonečno" může být velice malé, dokonce i nula.

Podobná rovnováha rozhoduje o výsledku dalších neurčitých výrazů, například výsledek ∞ − ∞ záleží na tom, které nekonečno roste rychleji.

Stačí prozkoumat 1/0, protože výrazy L/0 a nekonečno dělené nulou se chovají stejným zpúsobem. Základní myšlenka je, že jedna dělená velice malým číslem dá velice velké číslo, jehož znaménko záleží na znaménku dělitele. Protože u malých čísel je od kladného k zápornému jen malá změna, vyplývá z toho, že taková malá změna ve jmenovateli způsobí ohromnou změnu ve výsledku: velký výsledek změní znaménko (například 1/0.0001 = 10,000, zatímco 1/-0.0001 = −10,000).

Připoměňme, že "0" zastupuje určitou posloupnost {a_n} konvergující k nule. Hodnota 1/0 záleží na znaméncích a_n. Jestliže jsou všechna a_n kladná (což značíme 0⁺ v algebře limit, ve skutečnosti stačí, aby byly členy kladné po vynechání konečného počtu na začátku), znamená to, že vždy dělíme "téměř jedna" (připomeňme, že "1" zastupuje nějakou posloupnost b_n konvergující k 1) malými kladnými čísly, obdržíme tak velká kladná čísla. Výsledná limita by tedy měla být nekonečno. Jestliže jsou naopak všechna a_n záporná (což značíme 0^- v algebře limit, ve skutečnosti stačí, aby byly členy záporné po vynechání konečného počtu členů na začátku), znamená to, že dělíme "téměř jedna" malými zápornými čísly a dostáváme tak záporná čísla, která jsou v absolutní hodnotě velice velká. Výsledná limita by tedy měla být mínus nekonečno. Tímto způsobem obdržíme ty dva vzorce pro 1/0 v naší algebře limit: 1/0⁺ = ∞ a 1/0^- = −∞.

Třetí alternativa je, že jak jdeme podél posloupnosti a_n k jejímu konci, žádné znaménko nepřeváží; jinými slovy, jakkoliv daleko v posloupnosti dojdeme, vždycky jsou ještě dál kladná i záporná a_n. Dá se to také vyjádřit následovně: Není možné zajistit, aby měla posloupnost stejné znaménko, pomocí odříznutí jejího začátku, tj. vypuštěním konečného počtu členů. Protože posloupnost a_n jde k nule a b_n je pro velká n přibližně jedna, čísla b_n /a_n v absolutní hodnotě jdou do nekonečna, ale znaménko se nepřestává měnit nějakým způsobem z kladného v záporné a zpět; výraz b_n /a_n tak dává oscilující posloupnost, kde velikost oscilace roste. V takovém případě dostaneme výsledek, že limita posloupnosti b_n /a_n neexistuje.

Závěr je, že když vidíme typ 1/0, musíme prozkoumat znaménko posloupnosti ve jmenovateli. Pokud zjistíme, že určité znaménko nakonec převáží, můžeme použít algebru limit. Pokud zjistíme, že žádné znaménko nepřeváží a pořád se mění, pak odpověď je, že limita neexistuje. Pokud nejsme schopni znaménka vyšetřit, musíme tento konkrétní případ 1/0 vzdát.

Pokud chcete vidět nějaké příklady tohoto chování, podívejte se na neurčité výrazy.

V této poznámce dáme dohromady myšlenky z předchozích dvou poznámek, abychom vysvětlili, proč někdy potřebujeme uvažovat jednostranné limity.
To, že číslo v algebře limit není přesně to číslo, ale symbol pro konvergentní posloupnost, nám umožňuje dělat věci, které bychom s čísly dělat nemohli. Víme například, že nelze dosadit číslo 0 do funkce 1/x². V algebře limit nicméně máme 1/0² = ∞ (skoro, jak ještě vysvětlíme). Proč? 0 zastupuje posloupnost {a_n} konvergující k nule. Jestliže tato posloupnost splňuje podmínku, že a_n jsou nenulové, pak a_n² jsou kladná čísla konvergující k nule, tudíž 1/a_n² musí jít do nekonečna. Můžeme vlastně napsat 0² = 0⁺ a použít výsledek z předchozí poznámky.

Někdy při pokusu o dosazení konvergentní posloupnosti do funkce musíme být opatrní a trochu víc pracovat. Jaký je například výsledek ln(0)? Připomeňme, že logaritmus je definován jen pro kladná čísla, takže zde je třeba se podívat blíže na posloupnost {a_n} reprezentovanou tou "0". Aby měl výraz smysl, její členy musí splňovat a_n > 0. Pak mohou být dosazeny do logaritmu a ln(a_n) jde do −∞.

Posloupnost jsme označili na reálné ose, hodnoty ln(a_n) se objevují na svislé ose.

Pro takovou "0" jsme měli značení, v předchozí poznámce jsme jí říkali 0⁺, a právě jsme odvodili, že ln(0⁺) = −∞.

Tyto úvahy se vyskytují docela často a zasluhují si formální definici.

Definice (jednostranné limity)
Nechť {a_n} je posloupnost konvergující k reálnému číslu A.
Jestliže a_n > A pro všechna n, pak řekneme, že {a_n} konverguje k A zprava. Značíme to a_n→A⁺, v algebře limit pro takovou posloupnost používáme symbol A⁺.
Jestliže a_n < A pro všechna n, pak řekneme, že {a_n} konverguje k A zleva. Značíme to a_n→A^-, v algebře limit pro takovou posloupnost používáme symbol A^-.

Následující obrázku ukazují, jak jednostranné limity vypadají.

Viděli jsme dva nejtypičtější příklady, u kterých jsou jednostranné limity užitečné, výrazy 1/0 a ln(0). Kdykoliv dostanete tyto výrazy, měli byste vyšetřit, zda je ta 0 jednostranná, jinak není možné dělat žádné závěry. Takových příkladů je více. Pokaždé, když zkusíte dosadit nějaké A do funkce a objeví se problém, měli byste se zeptat, jestli by situaci pomohlo, kdybyste věděli, že je A jednostranné.

Příklad: Jaký je výsledek tg(π/2)?

Víme, že tangens není v π/2 definován, což ukazuje, že je třeba dále pátrat. Protože víme, jak tangens vypadá,

vidíme, že to je přesně situace, kde mohou jednostranné limity pomoci. Když si představíme příklady posloupností konvergujících k π/2 zprava a zleva,

měli bychom být schopni odhadnout správný výsledek:

tg((π/2)⁺) = −∞,      tg((π/2)^-) = ∞.

Když se tedy potkáte s výrazem tg(π/2), pak je třeba zjistit víc o posloupnosti uvnitř tangensu. Pokud je její limita jednostranná, je výsledek jak jsme právě napsali. Pokud posloupnost nepřestává přeskakovat napravo a nalevo od π/2, pak limita neexistuje.