Pí a Eulerovo číslo
Když napíšeme Eulerovo číslo e, co tím opravdu míníme? Protože víme,
že e je limitou posloupnosti
(1+1/n)n, můžeme
získat přibližnou odpověď tím, že dosadíme velké číslo. Například
n = 1000000 dává 2.7182805, což je docela blízko k populární hodnotě
2.718281828... Poznamenejme nicméně, že zrovna tento přístup
je extrémně citlivý na numerické chyby, exituje bezpečnější způsob, jak
najít Euerovo číslo.
Stejným způsobem lze najít záhadné číslo pí. Dá se dokázat, že posloupnost
definovaná rekurzivně
(1) a1 = 1,
(2)
an+1 = an + (−1)n/(2n − 1),
n = 1,2,3,...
konverguje a limitou je pí dělené čtyřma. Ten součet vlastně jde
1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 +... Nalezení stého členu zabralo trochu času (než jsem napsal
příslušný program pro svou kalkulačku), ale nakonec jsem dostal
a100 = 0.787873. Vynásobeno čtyřmi to dává asi
3.151, což je docela blízko k
3.14159265358979323.... Kdybych měl čas,
požádal bych kalkulačku o a1000000 a dostal bych
π s lepší přesností.
Než se objevily počítače a lidé museli počítat rukou, vyjadřování důležitých
čísel pomocí posloupností bylo důležitým tématem. Spousta úsilí byla věnována
nalezení ne jen tak nějaké posloupnosti, ale posloupnosti, která by
konvergovala k dané přesnosti co nejrychleji a s nejmenším možným počtem
operací. Je to stále živá oblast, která teď nachází uplatnění v oblasti
počítačů, protože ty používají aproximaci k určení prakticky všech funkcí.
Metoda bisekce a Newtonova
metoda
Zpět na Teorie - Aplikace