Zde se pokusíme objasnit, jak odhadnout graf funkce, která byla získána aplikováním transformací na známou funkci. Nepokryjeme tak funkce, které jsou získány kombinováním více funkcí, protože pak je odhad grafu obtížný, často nemožný. Situace, kterou zde pokryjeme, je následující. Máme jednu elementární funkci a aplikujeme na ni jednu či více transformací. Pokud jste se již podívali na poznámku o pořadí výpočtu a algebraickém znázornění funkce, tak rozumíte, když řekneme, že zde nebudeme hádat grafy funkcí, které nejsou jeden řetězec, ale mají více "kořenů". Mimochodem, to pořadí výpočtu se tu také může hodit.
Důležitou součástí této sekce je seznam transformací a jejich vlivu. Protože
nás tu zajímá praxe, uděláme "špatný" seznam ve smyslu, že jedna transformace
bude pokryta několikrát, rozdělena na speciální případy. Například změna
měřítka
Každá transformace funguje stejným způsobem, nahrazováním. Každá transformace
také přichází ve dvou verzích, lze ji aplikovat na argument nebo na hodnotu
(tj. na funkci). Když například násobíme číslem c, můžeme buď nahradit
všechna x ve vzorci výrazem
Algoritmus pro odhad
Krok 1. Určete základní elementární funkci, jejíž graf je základem pro
danou funkci.
Krok 2. Načrtněte graf základní funkce, pak jej upravte podle
transformací, které byly aplikovány na argument (od poslední k první vzhledem
k pořadí operací, viz níže).
Krok 3. Vezměte graf z kroku 2 a upravte jej podle transformací, které
jsou aplikovány na hodnotu (od první k poslední vzhledem k pořadí operací,
viz níže).
Jedna z nějtěžších věcí pro studenty je rozpoznat správné pořadí, v jakém aplikovat transformace. V typickém případě jsou na argument aplikovány dvě transformace, otázka pak je, kterou začít. Naštěstí existuje snadný způsob, jak na to přijít. Když začnete s x a aplikujete nahrazování, jak je ukázáno těmi šipkami výše, měli byste dostat argument dané funkce. Pokud dostanete něco jiného, vaše pořadí bylo chybné. Toto pravidlo také funguje, když je aplikováno více transformací.
Když například hádáme graf funkce sin(2x + 3), je tu otázka, zda máme
nejdřív posunout graf doleva o 3 a pak jej dvakrát zmáčknout, nebo jej
nejprve dvakrát zmáčknout a pak teprve posunout o 3 doleva. Zkusíme si teď pro
obě varianty ten nahrazovací postup:
Nejprve posun, pak zmáčknutí odpovídá pořadí nahrazení
v druhém kroku nahrazujeme x výrazem
Nejprve zmáčknutí, pak posun odpovídá pořadí nahrazení
v druhém kroku nahrazujeme x výrazem
Vidíme, že pro transformaci
T | f (x) |
x | |
x ↦ x − 3: | x − 3 |
x ↦ 2x: | (2x) − 3 |
Poznámka: Pokud se podíváme na
pořadí, ve kterém daný výraz
počítáme, pak by měly být transformace aplikovány "od poslední k první".
Kdybychom chtěli počítat výraz
Příklad: Odhadněte graf funkce
Řešení: Nejprve určíme základní funkci. Protože nám transformace
nedovolují dělit, začneme se zlomkem
Teď máme aplikovat transformace, které mění argument x, potřebujeme
jej změnit v
To nesedí, musíme to tedy udělat naopak, nejprve posun, pak dilatace.
Nemělo by to překvapit, "− 2" se dělá poslední (po "3 krát"), takže dle pravidla tím máme začít (posunem). Uděláme tedy toto:
Existuje jakási kontrola, zda jsme to udělali správně. Funkce
Mimo jiné vidíme, že díra v definičním oboru teď nesouhlasí.
Teď je tedy čas aplikovat transformace na hodnotu. Jsou tři, svislé zvětšení čtyřikrát, posun dolů o 1 a zrcadlení pomocí absolutní hodnoty. Absolutní hodnota se počítá nakonec, takže bude také poslední aplikovaná. Pravidlo "od prvního k poslednímu" říká, že bychom nejprve měli udělat svislou dilataci 4 krát, pak posun dolů o 1 a nakonec to zrcadlení. Pro jistotu se podívámě, že to nahrazování sedí:
Nakonec jsme dostali správný výraz, takže to udělejme. Nejprve dilatace a posun,
nakonec zrcadlení.
Docela pomůže, když během kroků hlídáme pozice některých významných bodů,
například zkusíme dosadit nulu nebo kontrolujeme nulové body. Zde je na závěr
ověříme, že nulové body dané funkce jsou
Zde probereme tři další transformace. Jsou docela pokročilé a ve většině kursů kalkulu se ani neprobírají. My je tu dáváme, protože jsou občas užitečné (už mi párkrát pomohly) a tato sekce by se bez nich necítila úplná.
Umocňování. Zde je situace: Známe graf nějaké funkce f. Jak
vypadá graf funkce
Druhá mocnina kombinuje dva efekty. Ten první je, že mění všechny záporné
hodnoty na kladné, takže bychom měli začít zrcadlením záporných částí grafu
f nad osu x. Druhý efekt je, že se změní velikosti ve svislém
směru, ale na rozdíl od dilatací probraných výše nejde o roztahování stejným
faktorem. Stručně, čím větší je hodnota f, o to více se zvětší
umocněním. Například tam, kde je f rovno 10, se graf natáhne ve
svislém grafu 10 krát, v místech, kde je f rovno 1, s ním neudělá
umocnění nic a v místech, kde f je
1. Nejprve zrcadlíme graf jako při kreslení
2. Body, kde
3. Body, kde
4. Body, kde
Pokud se to udělá správně, pak monotonie
Příklad: Na levé straně je graf nějaké funkce f, vyznačili jsme také účinek zrcadlení a úroveň 1. Napravo je graf f 2.
Poznámka: Efekt ostatních celočíselných mocnin větších než 1 je podobný. Sudé fungují naprosto stejně, jen ten natahovací a smrskávací efekt je větší pro mocniny větší než 2. Liché mocniny větší než 1 mají tentýž natahovací/smrskávací účinek, ale bez zrcadlení.
Odmocnina. Zde je situace: Známe graf nějaké funkce f. Jak vypadá graf druhé odmocniny z f ?
Druhou odmocninu můžeme aplikovat pouze na funkce, které nenabývají záporných hodnot. Zde si potřebujeme pamatovat, že odmocnina dělá čísla větší než 1 menšími, ale zvětšuje čísla menší než 1. To naznačuje potřebné kroky.
1. Body, kde
2. Body, kde
3. Body, kde
Pokud se to udělá správně, pak monotonie
Příklad: Nalevo je graf nějaké funkce f, zaznačili jsme také
úroveň 1. Napravo graf funkce
Poznámka: Efekt dalších odmocnin je podobný. Je-li n sudé přirozené číslo, pak n-tá odmocnina funguje stejně jako druhá. Jestliže je n liché, pak má n-tá odmocnina podobný efekt, ale může být aplikovaná na všechny funkce a jejich záporné části jsou změněny stejně, jako jsme transformovali kladné části.
Převrácená hodnota. Zde je situace: Známe graf nějaké funkce f.
Jak vypadá graf funkce
Převrácenou hodnotu lze aplikovat pouze na funkce, které nejsou nula. Víme, že převrací velká čísla na malá a naopak, ale znaménko se zachovává, což naznačuje, jak se to bude dělat.
1. Rozdělíme graf na vodorovné pruhy. První pruh je oblast daná
nerovnicí
2. Body, kde
3. Části grafu, které jsou v prvních dvou pruzích, si vymění
místa. Body, které byly blízko úrovně
4. Ty dva pruhy v dolní polorovině se prohodí přesně jako v
3., teď ale všechno je a zůstane záporné.
Pokud se to udělá správně, bude monotonie grafu
Příklad: Nalevo graf nějaké funkce f, označili jsme také úroveň
1. Napravo graf
Poznámka: Když dáme nápady z částí 1 - 3 dohromady, umíme teď také hádat záporné mocniny a odmocniny.
Zkušený hadač grafů by se také uměl vypořádat s věcmi jako
Pro další příklady odkazujeme na Řešené příklady.