Příklad: Pomocí transformací odhadněte graf následující funkce:

Řešení: Jak jste asi odhadli, tento příklad je "poučný", snažíme se tu něco ukázat. Protože jediný rozdíl mezi prvními dvěma funkcemi je pozice absolutní hodnoty, zdá se, že se tu budeme soustředit na pořadí transformací a efekt zrcadlení. Začneme s prvním příkladem.

a)     Základní funkcí je tady evidentně exponenciála. Na argument aplikujeme dvě transformace, v pořadí dle výpočtu nejprve odečteme 1 a pak uděláme absolutní hodnotu. Protože transformace argumentu se mají dělat "od poslední k první", začneme s grafem ex, pak symetricky zrcadlíme jeho kladnou část doleva, čímž uděláme tu absolutní hodnotu, a nakonec výsledný obrázek posuneme doprava o 1. Ověříme, že pořadí "zrcadlení-posun" je správné, pomocí nahrazovacího triku:

x → |x| → |x − 1|.

Shoduje se to se zadaným výrazem, takže to uděláme.

Rychlá kontrola, že jsme neudělali nějakou totální chybu: Daná funkce má podezřelý bod zlomu v místě, kde je absolutní hodnota nulová, tj. pro x = 1, což souhlasí s obrázkem, a limita f v nekonečnu i mínus nekonečnu je nekonečno, což také souhlasí.

b)     Teď ta druhá funkce. Tam je pořadí opačné, když funkci počítáme, nejprve uděláme absolutní hodnotua pak odečteme, takže transformace by měly jít v pořadí "posun-zrcadlení". Rychlá kontrola pomocí nahrazování:

x → x − 1 → |x| − 1.

Vychází to, jdeme na to.

Rychlá kontrola: Zlom v absolutní hodnotě nastává, když x = 0, to souhlasí s obrázkem.

c)     Třetí funkce je také založena na exponenciále. Vlastně začneme funkcí, kterou jsme právě namalovali, a na ni pak aplikujeme dvě další transformace. Funkce e|x| − 1 se posune dolů o 1 a pak se z toho udělá absolutní hodnota, a protože transformace hodnoty se dělají ve stejném pořadí jako výpočet, říká nám to, co máme dělat s tím grafem nahoře. Nejprve jej posuneme dolů o 1, pak vezmeme části pod osou x a překlopíme je nahoru.

Zde by evidentně pomohlo vědět, které části transformované exponenciály se po posunu ocitnou pod osou x. Jinými slovy, rádi bychom věděli, které části toho grafu nahoře jsou pod úrovní y = 1. Původní exponenciála dosáhla úrovně 1 v bodě x = 0. Po posunu se úroveň 1 dosáhne v bodě x = 1, zrcadlení dodá další takový bod, x = −1. Proto se po posunu výsledného grafu dolů o 1 ocitnou pod osou x přesně ty části, které jsou na intervalu (−1,1), ty se pak přehodí nahoru.

Zpět na Řešené příklady - Reálné funkce