Mocniny jako čísla a funkce

Začneme s následující otázkou. Máme dvě reálná čísla, A a B, a chceme vědět, jak spočítat AB (pokud je to vůbec možné).

Budeme tuto mocninu definovat krok za krokem v závislosti na exponentu B, začneme jednoduchými a půjdeme k obecnému.

Případ 1. B = 0. Definujeme A0 = 1 pro všechna reálná čísla A.

Případ 2. B = n je přirozené číslo. Definujeme An pro všechna reálná čísla A indukcí, A1 = A a An+1 = AAn. Jinými slovy, An je prostě AA⋅...⋅A, číslo A násobí samo sebe n-krát.

Případ 3. B = n je celé číslo. Jestliže n není záporné, pak už jsme to probrali předtím. Jestli je n záporné, definujeme An = 1/An. V tomto případě nesmí být A nula.

Případ 4. B = 1/n, kde n je přirozené číslo. Dá se dokázat, že jestliže A ≥ 0, pak rovnice xn = A má jedno řešení x ≥ 0. Toto řešení se jmenuje n-tá odmocnina z A a my definujeme A1/n jako tuto odmocninu.

Pokud je navíc n liché, můžeme hledat odmocninu také pro záporné A. Proto můžeme počítat A1/n jako n-tou odmocninu pro všechna A, jestliže je n liché, a pro nezáporné A, jestliže je n sudé.

Poznámka: Jestli je n sudé, pak má rovnice xn = A dvě řešení, jedno záporné a jedno kladné. Toto jsou řešení rovnice, jako odmocninu bereme jen to kladné. Někoho tohle mate, ale je to v zásadě velmi jednoduché. Rovnice x2 = 4 má dvě řešení, 2 a −2, ale druhá odmocnina ze 4 je 2.

Případ 5. B = p/q je racionální číslo, kde q je přirozené číslo a p je celé číslo (můžeme předpokládat, že p není nula, protože ten případ už jsme definovali). Teď definujeme Ap/q = (A1/q)p, k určení, jaká A jsou povolena, je třeba rozlišit několik případů.

Jsou dvě omezení: Za prvé, je-li p záporné, pak A nemůže být nula. Za druhé, je-li q sudé, pak A nemůže být záporné. Jsou tedy čtyři možnosti:
a) Je-li p kladné a q liché, pak A může být libovolné reálné číslo.
b) Je-li p kladné a q sudé, pak vyžadujeme A ≥ 0.
c) Je-li p záporné a q liché, pak vyžadujeme A ≠ 0.
d) Je-li p záporné a q sudé, pak vyžadujeme A > 0.

Případ 6. B je nějaké reálné číslo, zase budeme předpokládat, že není nula. Zde definujeme mocninu následovně. Vybereme libovolnou posloupnost {b(k)} racionálních čísel, která konverguje k B (píšeme b(k) namísto bk). Protože nemůžeme zaručit, že všechny jmenovatelé v této posloupnosti jsou liché, musíme se omezit na A > 0 pro B záporné a na A ≥ 0 pro B kladné. Pak se dá dokázat, že posloupnost {Ab(k)} konverguje k nějakému číslu, které nazveme AB.

Aby byla tato definice korektní, musíme dokázat tři věci. Za prvé, že posloupnost {Ab(k)} opravdu konverguje. Za druhé, že když vybereme jinou posloupnost {c(k)} jdoucí k B, pak posloupnost {Ac(k)} konverguje k témuž číslu jako {Ab(k)}. Konečně, je třeba dokázat, že když B padne do některého z předchozích případů (celé číslo, racionální číslo), pak definice skrz posloupnosti souhlasí s obvyklou definicí, jak tam byla popsána. Naštěstí se všechny tři věci dají dokázat, takže máme mocninu.

 

Mocnina AB, jak jsme ji definovali, splňuje obvyklá pravidla, která platí, kdykoliv jsou vyskytující se mocniny definované:

(AB)C = ACBC,      (A/B)C = AC/BC,

AB = 1/AB,      AB+C = ABAC,      ABC = (AB)C = (AC)B.

Mocniny jako funkce

Mocniny jako funkce dostaneme, když uvažujeme mocninu AB a necháme měnit základ A, pak dostaneme funkci f (x) = xB. Rádi bychom věděli, co to znamená a jaké má vlastnosti. Jako předtím se podíváme na několik případů podle toho, jaké je B. Začneme od nejobecnějšího případu, kdy je B nějaké reálné číslo, a uvidíme, jaké vlastnosti platí pro všechny mocniny. Pak se podíváme na speciálnější případy.

Obecný případ: B je reálné číslo. Když nemáme o B nějakou speciální informaci, pak definiční obor je (0,∞). Máme následující vlastnosti:

  • algebra: Pro všechna x,y > 0 a libovolné reálné A, B platí (xy)B = xByB, (x/y)B = xB/yB, xB = 1/xB, xA+B = xAxB.
  • srovnání: Jestliže A < B, pak pro všechna x > 1 platí xA < xB. Naopak pro všechna x splňující 0 < x < 1 platí xA > xB.
  • spojitost: Mocniny jsou vždy spojité na jejich definičních oborech.
  • derivace a integrál:

Další vlastnosti záleží na znaménku B. Jestliže B = 0, pak xB = x0 = 1, tj. máme konstantní funkci definovanou na celé reálné ose. Jestliže B > 0, pak definiční obor xB je vlastně ⟨0,∞), funkce je omezená zdola ale ne shora (proto není omezená), je rostoucí. Jestliže B < 0, pak často dáváme přednost zápisu xB = 1/xB; funkce je omezená zdola ale ne shora (proto není omezená), je klesající.

Definiční obor této funkce lze rozšířit, pokud víme víc o B. Jmenovitě, předpokládejme, že B = p/q, kde p je celé číslo a q je přirozené číslo. Pak můžeme psát xp/q = (x1/q)p a vidíme, že taková mocnina je vlastně složením q-té odmocniny z x a p-té mocniny pro celočíselné p, obě funkce dobře známe. Začneme tím, že se na ně krátce podíváme.

1. Mocniny xn pro n přirozené číslo. Jejich definiční obor je celá reálná osa. Základní tvary jsou tvary mocnin x, x2 (parabola) a x3. Ostatní mocniny mají tvary podobné, sudé mocniny vypadají jako x2, liché jako x3, jen grafy jsou natáhnuty do nekonečna, čím větší n, tím víc je graf natáhnutý.

Je-li n sudé, pak mocnina xn je sudá funkce omezená zdola, ale ne shora, proto není omezená. Když potřebujeme prostou část, abychom mohli udělat inverzi (odpovídající odmocninu), omezíme ji na interval ⟨0,∞). Je rostoucí na ⟨0,∞) a klesající na (−∞,0⟩.

Je-li n liché, pak mocnina xn je lichá funkce neomezená zdola ani shora (proto není omezená), je prostá a proto má inverzní funkci (odpovídající odmocninu). Je také rostoucí na celé reálné ose.

2. Pro B = 0 dostaneme konstantní funkci x0 = 1. Její graf je vodorovná přímka. Je tedy sudá a omezená, není prostá na žádném intervalu. Je monotonní, jmenovitě nerostoucí a neklesající.

3. Jestliže je n záporné celé číslo, můžeme psát n = −m, kde teď m je přirozené číslo, a xn = 1/xm. Hned vidíme, že definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě nuly. Další vlastnosti následují z toho, co už jsme viděli. Je-li m sudé, pak 1/xm je sudá funkce omezená zdola ale ne shora, proto není omezená. pokud potřebujeme prostou část na udělání inverze (odpovídající odmocnina), omezíme funkci na interval (0,∞). Funkce je klesající na (0,∞) a rostoucí na (−∞,0).

Je-li m liché, pak 1/xm je lichá funkce, která není omezená zdola ani shora (tudíž není omezená), je prostá a proto má inverzní funkci (odpovídající odmocninu). Je také klesající na (−∞,0) a na (0,∞).

4. Jestliže B = 1/n, kde n je přirozené číslo, pak definujeme funkci x1/n jako n-tou odmocninu z x, tj. jako inverzní funkci k xn. Vlastnosti této funkce tedy plynou z vlastností xn pro n přirozené číslo, viz výše, mimo jiné závisí na paritě n.

Je-li n sudé, pak definiční obor je ⟨0,∞). Funkce je omezená zdola ale ne shora (proto není omezená), je rostoucí. Je-li n liché, pak definiční obor je celá reálná osa, funkce není omezená, je lichá a rostoucí.

 

Konečně se dostáváme k důležitému případu xp/q = (x1/q)p. Z předchozí analýzy vyplývá, že chování této funkce závisí na dvou věcech, na znaménku p a na paritě q.

Jestliže je p kladné a q sudé, pak definiční obor je ⟨0,∞). Funkce je omezená zdola ale ne shora (tudíž ani omezená), je rostoucí. Je-li p kladné a q liché, pak definiční obor je celá reálná osa, funkce není omezená, je lichá a rostoucí. Jestliže je p záporné a q sudé, pak definiční obor je (0,∞). Funkce je omezená zdola, ale ne shora (proto není omezená), je klesající. Je-li p záporné a q liché, pak definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě 0, funkce není omezená, je lichá a klesající na (−∞,0) a na (0,∞). V následujícím obrázku jsme každou kategorii representovali typickým příkladem.


Polynomy, racionální lomené funkce
Zpět na Teorie - Elementární funkce