Polynomy a racionální funkce

Definice.
Pod pojmem polynom rozumíme libovolnou funkci ve tvaru

p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn,

kde ak jsou reálná čísla.
Uvažujme polynom p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn. Definujeme stupeň p, značený st(p), jako největší index k splňující ak ≠ 0.

To, že jsou ak reálné, se občas zdůrazní názvem "reálný polynom". Jsou také jiné polynomy, například "komplexní polynomy" dostaneme, když dovolíme ak, aby byly komplexní. Zde ale pracujeme pouze s reálnými funkcemi, tak budeme říkat "polynomy" a myslet tím reálné polynomy.

Čísla ak se jmenují koeficienty. Některé z nich mohou být nula, což znamená, že vyjádření polynomu není pro daný polynom jednoznačné. Například můžeme mít p(x) = 1 + 2x2 = 1 + 0x + 2x2 = 1 + 2x2 + 0x5. Podle definice je stupeň tohoto polynomu 2 a je zvykem vynechat všechny mocniny vyšší než je stupeň, které tedy v polynomu vlastně nejsou; jinými slovy, ten poslední výraz bychom použili jen výjimečně. Nejvyšší mocnina, která se opravdu v polynomu objevuje - mocnina definující stupeň - hraje v jeho chování významnou roli a říkáme jí vedoucí mocnina. Často proto píšeme polynomy v opačném pořadí, od nejvyšší k nejnižší mocnině. Všimněte si, že polynomy stupně 0 jsou přesně nenulové konstantní funkce, p(x) = a0.

Jaký stupeň má nulový polynom? Nejčastější volby jsou −∞ a −1, podle toho, který z populárních vzorců pro stupeň potřebujete mít platný i pro nulový polynom. Vzhledem k nejasnosti někteří autoři raději nechávají stupeň nulového polynomu nedefinovaný. Mimochodem, volba −1 zařídí obecnou platnost následujícího tvrzení (tedy i pro nulové polynomy): Nechť k je nejmenší nezáporné celé číslo takové, že k-tá derivace p je nulová. Pak k − 1 je stupeň p.

Často používáme frázi "nechť p(x) = anxn + an−1xn−1 +...+ a1x + a0 je polynom stupně n"; pak z toho plyne, že koeficient an není nula.

Pojem stupeň polynomu splňuje následující vlastnosti:
(i) deg(pq) = deg(p) + deg(q);
(ii) deg(p + q) ≤ max(deg(p),deg(q));
(iii) pokud deg(p) > deg(q), pak deg(p + q) = deg(p).

Tyto vzorce určitě platí pro nenulové polynomy. Jejich obecná platnost závisí na tom, jak definujeme stupeň nulového polynomu. Pokud jej nastavíme jako −∞ pak všechna tři tvrzení platí obecně, což vysvětlí popularitu této volby. Pokud stupeň nastavíme jako −1, pak platí pouze poslední dvě. Coby kuriozitku poznamenejme, že volba ∞ funguje s prvními dvěma vzorci.

Ve většině situací stačí pouze uvažovat polynomy s an = 1, protože vždy můžeme psát

p(x) = anxn + an−1xn−1 +...+ a1x + a0 = an[xn + (an−1/an)xn−1 +...+ (a1/an)x + a0/an] = anq(x).

Polynom q je téhož stupně jako p a nejdůležitější vlastnosti polynomů souhlasí pro p a q, takže pak stačí zkoumat q (a ten už má koeficient u nejvyšší mocniny roven 1).

Tvar polynomu.

Pro porozumění polynomům pomůže fakt, že když je x blízko nekonečna (nebo mínus nekonečna), pak vedoucí mocnina vždy vyhraje nad ostatními členy - přestanou být důležité. Polynom stupně n má tedy okolo "konců", pro velké (v absolutní hodnotě) hodnoty x, tvar velmi podobný tvaru anxn. To je v mnoha situacích užitečné. Protože už víme, jak mocniny xn vypadají (viz předchozí sekci), můžeme dobře odhadovat tvary polynomů.

Zde jsou typické tvary polynomů sudého stupně (nalevo) a lichého stupně (napravo), za předpokladu, že je u vedoucí mocniny kladný koeficient.

Pokud je tam záporný koeficient (jako třeba u polynomu −2x3 + 5x + 1), grafy se překlopí okolo osy x:

Kolik "zatáček" můžeme u polynomu p mít? Nejvíce st(p) − 1. Například polynom stupně 2 má vždy přesně jednu zatáčku, protože jeho grafem je parabola.

Z typického tvaru také vyplývá, že polynom lichého stupně musí mít sudý počet obrátek, protože jeho "konce" v nekonečnu a mínus nekonečnu vždy ukazují opačnými směry. Naopak u polynomů sudého stupně ukazují "konce" stejným směrem, proto musí mít lichý počet obrátek. Například polynom stupně pět může mít tyto základní tvary:

Lineární funkce.

Pod pojmem lineární funkce rozumíme libovolnou funkci ve tvaru f (x) = kx + b, kde k,b jsou libovolné pevně zvolené konstanty. Lineární funkce jsou tedy polynomy stupně nejvýše 1. Jsou to přesně ty funkce, jejichž grafy jsou přímky. Jestliže k = 0, pak je grafem vodorovná přímka na úrovni b, takto dostaneme konstantní funkce. Jinak dostaneme přímky, které jdou nahoru nebo dolů podle hodnoty k. Koeficient k se nazývá směrnice odpovídající přímky a udává příkrost, se kterou přímka stoupá (či klesá). Jedna z populárních hodnot je k = 1, kdy přímka stoupá pod úhlem π/4 radiánů (45 stupnů). Konstanta b zase dává průnik s osou y.

Úhel, pod kterým přímka jde, je dán vzorcem α = arctg(k). Toto lze také brát jako vzorec pro k, tg(α) = k, ale v praxi bývá výhodnější hledat k přes trojúhelníky. Vezmeme libovolný trojúhelník, jak naznačeno v obrázku, určíme jeho výšku y a základnu x, pak k = y/x.

Schopnost přecházet rychle od lineární funkce k jejímu grafu a z grafu-přímky ke vzorci, který ji dává, může být velmi užitečná, protože lineární funkce patří mezi nejužitečnější a nejčastěji se vyskytující funkce.

Kořeny polynomu.

Kolik může mít polynom p kořenů? Připomeňme, že pod slovem kořen rozumíme číslo c splňující p(c) = 0. Teorie říká, že můžeme mít maximálně st(p) kořenů. To se dá odhadnout ze tvaru grafu. Například graf polynomu stupně 5 může mít tyto pozice:

Vidíme, že může mít mezi 1 a 5 kořeny. Vlastně polynomy lichého stupně mají vždy alespoň jeden reálný kořen.

Poznámka stranou: Tvrzení o počtu kořenů by platilo pro všechny polynomy, pokud bychom se rozhodli, že nulový polynom má stupeň nekonečno, ale to by způsobilo takový průšvih u jiných vlastností, že to lidé nedělají.

V komplexním oboru se polynomy chovají lépe. Krátce se tedy podíváme na komplexní věci, ale rychle se zase vrátíme do reálu. Všimněte si, že reálné polynomy jsou také komplexními polynomy, protože reálná čísla jsou podmnožinou komplexních. Když tedy máme reálný polynom, můžeme za x začít dosazovat komplexní čísla a předstírat, že je to komplexní polynom, využít pak nějaké vlastnosti. Začneme rovnou s hlavním výsledkem.

Věta.
Každý polynom (reálný či komplexní) stupně alespoň 1 má vždy nějaký komplexní kořen.

Fakt (faktorizace).
Nechť c je kořen polynomu p. Pak existuje polynom q splňující st(q) = st(p) − 1 takový, že

p(x) = (x − c)⋅q(x).

Tento Fakt funguje obecně pro komplexní polynomy a komplexní kořeny, ale pokud začneme s reálným polynomem a reálným kořenem, pak ten nový polynom q bude taky reálný.

Pokud pracujeme v komplexních číslech, pak začneme Větou, aplikujeme Fakt o faktorizaci, a pokud není ten nový polynom q konstantní, můžeme se vrátit ke Větě a zase faktorizovat a tak dále, takže dostaneme

Důsledek (rozklad polynomu na lineární faktory).
Nechť p(x) = anxn + an−1xn−1 +...+ a1x + a0 je polynom stupně n > 0. Pak existují komplexní čísla c1,c2,...,cn, která jsou všechna kořeny p a splňují

p(x) = an(x − c1)⋅(x − c2)⋅...⋅(x − cn).

Každý nenulový polynom má tedy tolik komplexních kořenů, kolik je jeho stupeň (tohle funguje i pro stupeň nula), ale některé z těchto kořenů mohou být stejné. Když dáme shodné kořeny k sobě, můžeme ten rozklad přeorganizovat na

p(x) = an(x − c1)⋅(x − c2)⋅...⋅(x − cn) = an(x − d1)n(1)⋅...⋅(x − dN)n(N).

Zde di jsou rozdílné kořeny p. Pro každý z nich se odpovídající mocnina n(i) jmenuje násobnost kořenu di (viz tato poznámka). Například můžeme mít

p(x) = (x − 1)⋅(x − 1)⋅(x − 3) = (x − 1)2⋅(x − 3).

Pak řekneme, že 1 je kořen násobnosti 2, zatímco 3 je kořen násobnosti 1, také zvaný jednoduchý kořen.

Poznamenejme, že dostat takto pěkný rozklad s reálnými koeficienty je otázkou štěstí, protože obecně máme zaručeny pouze komplexní kořeny. Protože nás zajímají pouze reálné polynomy, zkusíme teď vydolovat něco užitečného, co by nepoužívalo komplexní čísla.

Fakt.
Jestliže c je komplexní kořen reálného polynomu p, pak jeho komplexně sdružené číslo je také kořenem p.

To je skvělé, protože to znamená, že při faktorizaci polynomu dostaneme pro každý člen (x − c) také člen (x − c*).

Fakt.
Pro komplexní číslo c a jeho komplexně sdružené číslo c* máme (x − c)⋅(x − c*) = x2 + ex + f, kde e a f jsou reálná čísla.

Když tedy máme reálný polynom, můžeme dostat komplexní kořeny, ale jejich faktory lze dát dohromady po párech tak, že vytvoří reálné kvadratické polynomy. Dostaneme tedy toto:

Důsledek.
Každý reálný polynom lze napsat jako

p(x) = an(x − d1)n(1)⋅...⋅(x − dN)n(N)⋅(x2 + e1x + f1)m(1)⋅...⋅(x2 + eMx + fM)m(M),

kde di, ej a fj jsou reálná čísla.

V tomto rozkladu lineární členy (x − di) odpovídají reálným kořenům p, kvadratické členy (x2 + ejx + fj) pochází od komplexních kořenů. Jsou ireducibilní, což znamená, že je nelze dále rozložit na (x − a)(x − b) pomocí reálných čísel. Kdyby totiž tento kvadratický člen šlo takto rozložit, pak by měl dva rozdílné komplexní kořeny, které jej vytvořily, a také třetí (reálný) kořen a, což není pro polynom stupně dva možné.

Takový rozklad může být velmi užitečný a taky jsme viděli, že mít jej je ekvivalentní tomu, že známe kořeny p. Bohužel, najít takový rozklad je obecně většinou nemožné. Každé dítě zná slavný kvadratický vzorec pro nalezení kořenů kvadratického polynomu. Jsou také vzorce pro kořeny kubického polynomu (stupeň 3), ale nejsou moc pěkné a stejně si je nikdo nepamatuje. Vzorce pro polynomy stupně 4 jsou tak odporné, že většina knížek je ani neuvádí, aby nezpůsobily trauma delikátnějším čtenářům. K dovršení všeho je jedním z nejdůležitějších výsledků obecné algebry věta, že pro polynomy stupně 5 a víc ani žádné vzorce pro kořeny být nemohou.

Nalezení kořenů je proto otázkou náhody a štěstí. Obvykle zkusíme jeden kořen uhodnout, pak vytkneme odpovídající faktor (x − c) a podíváme se na zbylý polynom stupně o jeden menší než ten původní.

Příklad: Zkusíme rozložit p(x) = x6 − 3x4 + 2x3.

Řešení: Vidíme, že

p(x) = x3⋅[x3 − 3x + 2] = (x − 0)3⋅[x3 − 3x + 2].

Vidíme tedy, že 0 je kořenem p násobnosti 3. Co teď s q(x) = x3 − 3x + 2? Je to kubický polynom, takže máme pro kořeny vzorce, ale nepamatujeme si je. Tohle je ale školní příklad, takže se dá doufat, že existuje nějaký pěkný kořen, jmenovitě celé číslo, které není moc velké. Začneme tedy dosazovat 0, 1, −1, 2, −2,... a brzy zjistíme, že 1 je vlastně kořen. Vydělíme:

(x3 − 3x + 2)/(x − 1) = x2 + x − 2.

Dostali jsme kvadratický polynom, jehož kořeny jsou 1 a −2 podle kvadratického vzorce. Proto je 1 vlastně kořenem násobnosti 2 a −2 je jednoduchý kořen. Dostaneme

p(x) = (x − 0)3⋅(x − 1)2⋅(x − (−2)) = x3⋅(x − 1)2⋅(x + 2).

Poznámka: Místo použití kvadratického vzorce jsme také mohli zkusit rozklad uhodnout, viz tato poznámka.

Příklad: Zkusíme rozložit p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2.

Řešení: Zkusíme uhádnout kořen, po chvíli bychom měli dostat p(−2) = 0. Vydělíme:

(x3 + 3x2 + 3x + 2)/(x − (−2)) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)/(x + 2) = x2 + x + 1.

Kvadratický vzorec ukazuje, že x2 + x + 1 nemá reálné kořeny, takže nejlepší možný rozklad je

p(x) = (x + 2)⋅(x2 + x + 1).

Příklad: Zkusíme rozložit p(x) = x4 + x2 + 1.

Řešení: Zkusíme dosadit 0, 1, −1, 2, −2,..., ale po nějaké době to vzdáme. Co můžeme dělat? Protože hádání nepomohlo, tento problém není řešitelný metodami, které známe.

Připomeňme, že jediné ireducibilní polynomy jsou ty stupně 1 (lineární) a 2 (kvadratické), takže nějaká faktorizace p musí existovat. Možná máme reálné kořeny, ale nejsou to celá čísla, a tak je neumíme uhodnout. Protože polynom je sudého stupně, může se také stát, že žádné reálné kořeny nejsou. A přesně to je pravda, máme

p(x) = (x2 + x + 1)⋅(x2 − x + 1).

Jak jsme to dostali? Podvodem, tento příklad jsme vytvořili tak, že jsme začali s dvěma ireducibilními kvadratickými polynomy a vynásobili jsme je. Kdybychom tu odpověď od začátku neznali, tak bychom nevěděli, jak to vyřešit.


Teď se podíváme na trochu jiné téma, které je blízké rozkladu. Používali jsme dělení polynomů, obecně dostaneme při dělení zbytek. Abychom měli nějakou motivaci, připomeňme si následující: Když zkusíme vydělit 17 číslem 5, dostaneme odpověď: Je to 3, zbytek 2. Můžeme to zapsat takto: 17 = 3⋅5 + 2, jiný způsob je 17/5 = 3 + 2/5. Na chvíli dáme přednost prvnímu způsobu. Jak víme, že zbytek je 2 a ne řekněme 7, protože můžeme také psát 17 = 2⋅5 + 7? Pro zbytek máme jednoduché pravidlo: Je to nezáporné číslo r takové, že existuje celé číslo s splňující 17 = s⋅5 + r a r < 5. S touto definicí je jasné, že 2 je opravdu zbytek, jiné celé číslo by nefungovalo.

Je zajímavé, že přesně totéž lze udělat s polynomy, jen namísto velikosti čísla použijeme stupeň polynomu.

Fakt (dělení se zbytkem).
Nechť p,q jsou polynomy. Pak existují jednoznačně určené polynomy s,r splňující

p(x) = s(x)⋅q(x) + r(x)

a st(r) < st(q).

Můžeme to zase vyjádřit takto: p/q = s + r/q. To se nám bude za chvíli hodit.

Poznámka stranou: Nemíme tu ve větě omezení na p a q, takže jeden či oba mohou být nulové polynomy. Tento fakt zůstává pravdivý, pokud stupeň nulového polynomu definujeme záporný, takže obě populární volby −∞ a −1 jsou zde v pořádku.

Racionální lomené funkce

Racionální lomená funkce či lomená funkce je libovolný zlomek p/q polynomů. Tyto funkce jsou velmi populární. Definiční obor takové funkce jsou všechna reálná čísla s výjimkou kořenů q(x). Racionální funkce se zve ryzí, jestliže st(p) < st(q).

Poznámka: Lze se také setkat s názvem "racionální lomená funkce", což není moc logické, protože "racionální" znamená "lomená". Ale ono se to tak vžilo, že se obávám, že to tu v Math Tutoru mám porůznu taky.

Každou racionální funkci lze napsat jako součet polynomu a ryzí racionální funkce s týmže jmenovatelem. To je vlastně jen přeformulování Faktu o dělení se zbytkem. V praxi to děláme pomocí algoritmu pro dělení polynomů.

Protože s polynomy se pracuje relativně snadno, vidíme, že abychom uměli pracovat s racionálními funkcemi, v mnoha situacích stačí umět pracovat s ryzími racionálními funkcemi. To obzvláště platí o metodě rozkladu na parciální zlomky. Protože je tato metoda velmi důležitá, věnovali jsme jí speciální sekci, a protože jejím hlavním užitím (alespoň pro nás) je integrace, dali jsme tu sekci tam, takže pro parciální zlomky se podívejte na část Integrály - Teorie - Metody intergace - Parciální zlomky.

Stručně, metoda zahrnuje nejprve rozklad jmenovatele q na lineární a kvadratické (pokud je třeba) faktory jak jsme viděli výše, ryzí racionální funkci pak lze rozbít na součet tak zvaných parciálních zlomků, velmi jednoduchých zlomků, jejichž jmenovatelé vychází z lineárních a kvadratických faktorů q. Praktický pohled je zde.

Poslední poznámka: Když jsme probírali polynomy, zmínili jsme se, že když je x blízko nekonečna (nebo mínus nekonečna), pak je polynom v zásadě roven svému vedoucímu členu. Proto když je p(x) = anxn +... polynom stupně n a q(x) = bmxm +... je polynom stupně m, pak racionální lomená funkce p/q je pro velké (v absolutní hodnotě) hodnoty x víceméně rovna (an/bm)xn-m. To se občas velice hodí.


Exponenciály, logaritmy
Zpět na Teorie - Elementární funkce