Definice.
Funkce identita, značená Id, je definována pro reálná čísla vzorcemId(x) = x.
Graf:
Je to vlastně známá funkce, jedna z nejjednodušších lineárních funkcí, proč
jsme ji tedy takto vypíchli? Má speciální roli, když se podíváme na funkce z
pohledu algebry a pracujeme s nimi jako s algebraickými objekty. Připomeňme
si koncept
skládání funkcí. Jestliže se
podíváme na vlastnosti skládání coby operace na množině reálných funkcí,
vidíme, že má mnohé z vlastností, které známe z násobení, ale jiné chybí.
Víme, že skládání není komutativní, popravdě řečeno kompozice
Co tedy plati? Skládání je asociativní, to je jedna věc. Další zajímavou
vlastností je to - a teď se k tomu dostáváme, že má jednotku. Pod
pojmem jednotka rozumíme určitý element, který při aplikaci (pomocí dotyčné
operace) na libovolný prvek jej nezmění. Pro násobení je to číslo 1. Vskutku,
což znamená, že
což znamená, že také
Právě jsme ukázali, že
Pro úplnost poznamenáme, že když máme jednotku, můžeme se podívat po
inverzním prvku, a přesně jako u násobení, máme i tady pojem inverzního prvku
pro funkce a skládání. Pro danou funkci f je právě inverzní funkce
Vlastně jsme teď trochu podváděli. Skládání s inverzí dává identitu, jen pokud má dotyčná funkce celou reálnou osu jako svůj definiční obor i obor hodnot. V jiných případech musíme tu rovnost poněkud pozměnit, což nás přivádí k dalšímu tématu.
Definice.
Nechť M je nějaká podmnožina reálných čísel. Definujeme její funkci identity IdM vzorcem
IdM(x) = x pro x z M.
Máme tedy
Ta funkce identita, kterou jsme uvedli na začátku, je jen speciální případ
této poslední definice, je to identita na celé množině reálých čísel. Naopak
Definice.
Nechť M je libovolná podmnožina reálných čísel. Definujeme její charakteristickou funkci vzorcem
To podivné X je ve skutečnosti řecké písmeno "chi". Existuje i alternativní značení, charakteristická funkce množiny M se píše 1M. Má ještě jedno jméno, lidé ji také říkají indikátor množiny M. Třetí možné značení je IM, ale to je asi to nejhorší, protože lidé jsou někdy líní psát "d" a používají jen IM pro funkci identity, takže se to plete. První značení je nejrozšířenější, ale protože řecká písmena se s Internetem moc nesnášejí, budeme v Math Tutoru používat to druhé s tučnou 1.
Příklad: V obrázku ukážeme charakteristickou funkci uvedené množiny M.
Charakteristické funkce množin jsou velmi užitečné, často je používáme k vyjádření "restrikce" funkce na nějakou množinu. Proč ty uvozovky? Restrikce znamená, že odřezáváme kusy definičního oboru. Zde ale máme situaci, kdy chceme zachovat původní definiční obor, ale zajímají nás jen hodnoty dané funkce na jeho části, proto jinde funkci vynulujeme.
Přesně, nechť f je funkce definovaná na nějaké množině M a nechť N je nějaká podmnožina M. Nechť g je funkce, která má stejné hodnoty jako f na N, ale je nula všude jinde na M.
Pak g lze zapsat jako
Pokud totiž x leží v N, pak
zatímco pro x z M ale ne z N máme
Pro další způsob, jak vyjádřit charakteristickou funkci, viz další sekce o Heavisideově funkci.