Heavisideova funkce, Dirakova delta funkce

Definice.
Heavisideova funkce je definována pro reálná čísla vztahem

Upozorňujeme, že jsme se nepřeklepli, je to opravdu Heaviside, nikoliv Heavyside.

Vlastně jde o charakteristickou funkci intervalu ⟨0,∞):

Lidé také Heavisideovu funkci zapisují 1(x), ale to může být nebezpečné, protože sumbol 1 se používá pro mnoho účelů. Někteří autoři používají jinou definici:

Protože Heavisideova funkce je většinou používána v situacích, kdy na jednom bodu nezáleží (jmenovitě v Laplaceově transformaci), tyto dvě definice dávají stejné výsledky.

Heavisideova funkce je užitečná pro psaní charakteristických funkcí množin, hlavně intervalů. Nejprve si připomeneme, co dělá lineární posun o c:

Na to, abychom dostali charakteristickou funkci intervalu ⟨a,b), teď musíme "zapnout 1" v bodě a pomocí Heavisida a pak "vypnout 1" odečtením dalšího Heavisida:

Tohle se hodí, pokud nás zajímají hodnoty nějaké funkce f pouze na určitém intervalu ⟨a,b), viz charakteristické funkce. Nechť g je funkce obdržená tak, že jsme změnili f na nulu mimo interval ⟨a,b). Můžeme ji zapsat takto:

g = f⋅[H(x − a) − H(x − b)].

A zase, v situacích, kde není hodnota v jednom bodě podstatná, můžeme tento trik používat i s intervaly dalších druhů (otevřený, uzavřený).

Poznámka: Co se stane, když zkusíme zderivovat Heavisideovu funkci? Pro nenulové x je derivace nulová. Derivace v x = 0 neexistuje v klasickém smyslu, ale je tam derivace nevlastní, jmenovitě H ′(0) = ∞.

To nekonečno je ve skutečnosti přesně tak velké, abychom dostali Dirakovu delta funkci:

Integrální podmínka předepisuje, jak "velké" má být to nekonečno. Samozřejmě je to celé nesmysl, protože funkce nemůže mít hodnotu nekonečno a stejně bychom nevěděli, jak integrovat takový podivný objekt. Nicméně existuje zobecnění pojmu funkce, objekty zvané distribuce také zahrnují funkce, ale umožňují, aby se stalo více věcí (jako třeba nevlastní hodnoty), přesto se většina vlastností, které známe pro funkce, zachovává. Často se používají v konkrétních aplikacích, asi nejvíce ve fyzice, a Dirakova delta funkce (správně tedy Dirakova distribuce) je pro fyziky tak užitečná a funguje tak dobře, že jí začali říkat "funkce".

Přidali jsme ji sem jen tak pro úplnost, je to dost podivný objekt. Kromě toho, že (ve světě distribucí) díky ní máme roztomilou rovnost H′ = δ, je tu i další podivný (a užitečný) fakt. Jestliže je f libovolná integrovatelná funkce na intervalu M okolo počátku, pak

Int(x) a Frac(x)
Zpět na Teorie - Elementární funkce