Příklad: Prozkoumejme, pro které x má mocnina x^x smysl.

Řešení: Když si připomeneme, co jsme zjistili v sekci mocniny jako čísla v části Teorie - Elementární funkce, tak hned vidíme, že taková mocnina má smysl pro x > 0. Co se stane, když se podíváme na jiné hodnoty x? První, co přijde pod ruku, je x = 0. Připomeňme, že jsme definovali nultou mocninu jako A⁰ = 1 pro libovolné reálné A, takže také 0⁰ = 1 a x = 0 lze použít ve zkoumané mocnině.

Když se podíváme na záporné x, bude to horší. Pro některá x nemáme potíže, například záporná celá čísla jsou v pohodě, když vezmeme n = −m, pak nⁿ = (−1)^m/m^m. Další velká třída jsou záporná racionální čísla, jak to vypadá s nimi? Docela špatně. Uvažujme x = −1/m pro nějaké kladné celé číslo m. Jestliže je m liché, všechno je v pohodě, dostaneme x^x = −[m^1/m] a m-tá odmocnina kladného čísla je dobře definovaná. Na druhou stranu, jestli je m sudé, mocnina x^x nemá smysl, protože nejde vzít sudá odmocnina záporného čísla.

Z toho vyplývá, že všechna záporná racionální čísla se sudými jmenovateli jsou mimo, a protože taková čísla tvoří hustou množinu v záporné poloose, vidíme, že nejde udělat pěknou množinu, kde by x^x fungovalo. Znamená to také další věc. Pro B iracionální jsme definovali A^B pomocí aproximování B racionálními čísly. Protože vedle každého záporného iracionálního čísla máme spoustu racionálních se sudými jmenovateli, aproximační procedura selže. Proto číslo x^x také nemá smysl pro všechna záporná iracionální čísla.

Shrnutí: Zjistili jsme, že výraz x^x má smysl jako číslo pro x = 0, pro všechna kladná x a pro ty záporná x, která jsou racionální čísla s lichými jmenovateli.

Poznámka: Pokud bychom se snažili najít definiční obor x^x coby funkce odpovědí na otázku "kdy to má smysl", dostaneme množinu popsanou výše. Záporná část této množiny je extrémně škaredá z pohledu analýzy. Nejsou tam žádné spojité intervaly, jen spousta individuálních bodů, takže kdybychom s takovou funkcí pracovali, nemohli bychom na záporné části hledat limity či derivovat. To ukazuje, že tento přístup k obecným mocninám nedává rozumné odpovědi. Všimněte si ale také, že kladná část "definičního oboru", který jsme našli, je v pohodě. Není proto překvapivé, že když najdeme definiční obor x^x správně, dostaneme přesně kladná reálná čísla.