Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu
Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu výrazu, který existuje na prstencovém okolí limitního bodu. Začneme tedy dosazením tohoto bodu do výrazu.
Je toto neurčitý podíl? Nemůžeme si být jisti, protože nevíme, co se děje v čitateli. To ale úplně nevadí, protože standardní nástroj na neurčité podíly je l'Hospitalovo pravidlo a to se dá aplikovat i na "něco nad nekonečnem", což je naštěstí náš případ. Zkusíme to.
Tohle je asi ta správná chvíle to vzdát. Výraz se evidentně nezlepšuje, při druhém l'Hospitalovi jsme museli derivovat součiny, což to celé asi dvakrát zvětšilo, odmocniny navíc derivací nikdy nezmizí. Popravdě řečeno, zkušený řešič limit by to vzdal už po prvním l'Hospitalovi nebo dokonce dřív, máme lepší způsob.
Protože výraz obsahuje pouze mocniny, exponenciály a logaritmy (to vše okořeněno jednou druhou odmocninou) a my chceme limitu v nekonečnu, je tohle jasný kandidát pro šuplík "polynomialy a podíly s mocninami v nekonečnu". Potřebujeme určit dominantní členy.
V čitateli máme mocninu, exponenciálu a logaritmus, takže vedoucí člen je
jasný: ta exponenciála 2x. Ve jmenovateli musíme začít
odmocninou. Ve výrazu pod ní dominuje x4, takže celá
odmocnina je typu x2, což je stejné jako první člen.
Vedoucí mocninou jmenovatele je tedy x2. Jsou tam takové
členy dva, ale sčítají se, takže se nemusíme obávat nějakého problému. Daný
výraz se tedy (okolo nekonečna) chová jako
Samozřejmě je to třeba dokázat.
Potřebujeme ještě dodělat zlomky, které jsme ve výpočtu přeskočili, protože je lepší je dělat samostatně:
