Algebra limit

Následuje přehled algebraických výrazů, které lze použít pro výpočet limit. Je to rozšíření obvyklé algebry. Zmíníme se zde také o neurčitých výrazech. O těch je pojednáno podrobněji zde. Zde najdete stručný přehled algebry limit, pokud vás zajímá jen shrnutí.

Všechna pravidla zde podaná jako algebra limit jsou v literatuře podpořeny korektně dokázanými tvrzeními, například pravidla ∞ + L = ∞ a 1/0⁺ = ∞ se vyjádří takto:

Jestliže f jde do nekonečna v a a g konverguje k reálnému číslu L v a, pak f + g jde do nekonečna v a.
Jestliže f konverguje k nule v a a f > 0 na nějakém prstencovém okolí bodu a, pak 1/f jde do nekonečna v a.

A teď už pravidla.

Sčítání/odčítání:
Reálná čísla se sčítají/odčítají jako obvykle.
Nekonečno se chová pěkně ve většině případů:
∞ ± L = ∞ pro všechna reálná L,
∞ + ∞ = ∞.
Neurčitý výraz: ∞ − ∞.

Násobení/dělení:
Reálná čísla se násobí jako obvykle, také dělení funguje normálně pokud není jmenovatel nulový.
1/0⁺ = ∞ a 1/0^- = −∞.
Nekonečno se chová pěkně v těchto případech:
∞⋅L = ∞ a ∞/L = ∞ pro všechna kladná L,
∞⋅L = −∞ a ∞/L = −∞ pro všechna záporná L,
L/∞ = 0 pro všechna reálná L,
∞⋅∞ = ∞.
Neurčité výrazy: ∞⋅0, a .
Výrazy L/0 pro nenulové L a ∞/0 se obvykle nezahrnují mezi neurčité výrazy, ale patří tam, protože mohou mít tři rozličné odpovědi: ∞, −∞ a "neex". Stačí znát výsledek 1/0 (pak například L/0=L⋅1/0) a pro to máme nahoře dvě rovnosti s 0⁺ a 0^-. Jestliže nula není ani jeden z těchto typů, jestliže (během limitní procedury) bez ustání mění znaménko, pak limita 1/0 neexistuje.

Mocniny:
Reálná čísla fungují v mocninách A^B jako obvykle pro kladná A. Když není A kladné, je třeba být opatrný, mimo jiné 0⁰ je neurčitá mocnina (viz níže).
Nekonečno se chová pěkně v následujících případech:
∞^L = ∞ pro všechna kladná L, ∞^L = 0 pro všechna záporná L,
L^∞ = ∞ jestliže L > 1, L^∞ = 0 jestliže |L| < 1, a L^∞ neex. jestliže L < −1,
L^−∞ = 1/L^∞ = (1/L)^∞, proto L^−∞ = 0 jestliže |L| > 1, L^−∞ = ∞ jestliže 0 < L < 1, a L^−∞ neex. jestliže −1 < L < 0.
∞^∞ = ∞.
Neurčité výrazy: 1^∞, 0⁰, ∞⁰.

Důležitá poznámka: Obecné mocniny musí být zkoumány v základním tvaru e^ln (s výjimkou jednoduchých případů, které zvládne algebra limit výše). Například

(0⁺)⁰ = e^0⋅ln(0+) = e^0⋅(−∞) = e^-0⋅∞,

což je opravdu neurčité.

Abychom mohli počítat limity, musíme také znát hodnoty elementárních funkcí v koncových bodech intervalů jejich definičních oborů.

Slovník:
e^∞ = ∞, proto e^−∞ = 1/e^∞ = 1/∞ = 0.
ln(∞) = ∞ a ln(0⁺) = −∞.
sin(∞) neex., cos(∞) neex..
tg((π/2 + kπ)⁺) = −∞, tg((π/2 + kπ)^-) = ∞, cotg((kπ)⁺) = ∞, cotg((kπ)^-) = −∞,
arctg(∞) = π/2, arctg(−∞) = −π/2, arccotg(∞) = 0, arccotg(−∞) = −π.
sinh(∞) = ∞, sinh(−∞) = −∞, cosh(∞) = cosh(−∞) = ∞.
argtgh(∞) = 1, argtgh(−∞) = −1, argcotgh(∞) = 1, argcotgh(−∞) = −1, argcotgh(0⁺) = ∞, argcotgh(0^-) = −∞.

Poznámka: Základní rozdíl mezi "opravdickou" algebrou a algebrou limit je v tom, že zde čísla nepředstavují pevné kvantity, ale výsledky nějakého procesu. Můžeme si tedy představit, že například 3 je ve skutečnosti "skoro 3". To vysvětluje, proč některé věci nefungují tak, jak by se čekalo. Například v obvyklé algebře je 1 na cokoliv rovno 1. Výraz 1^∞ ale představuje jakési "skoro 1" umocněno na "opravdu ohromné velké číslo" a čísla, která nejsou přesně 1, mohou po umocnění na ohromná čísla dát cokoliv od nuly po nekonečno. Přesná odpověď závidí na rovnováze, na vztahu mezi těmi dvěma "skoro" v "skoro 1" a "skoro nekonečno".