Obecná mocnina

V první sekci jsme se podívali na vzorec A^B coby na algebraický objekt, kdy A a B jsou pevně zvolená čísla. Pak jsme se podívali, co se stane, když změníme A nebo B v proměnnou. Dostali jsme tak mocniny jako funkce a exponenciály. Co se stane, když máme "obecnou mocninu", tj. mocninu, kde se proměnná x vyskytuje v základu A i v exponentu B?

Nejjednodušší příklad je x^x, ale obecné množiny mohou být komplikované, jak jen chceme, trošku méně jednoduchý příklad je třeba [1/sin(x)]^{2x + cos(x)}.

Na rozdíl od předchozích dvou případů není lehké uchopit obecnou mocninu jen na základě vlastností obyčejné mocniny. Kdybychom totiž takový přístup zkusili a podívali se na obecnou mocninu skrze algebraické mocniny, dostali bychom velmi podivné věci. Není třeba chodit daleko, když máme dánu funkci, vždy začneme jejím definičním oborem. Co se stane, když se zeptáme, pro jaké hodnoty x má výraz x^x smysl? Dostaneme odpověď, která je v zásadě na nic, jak je vidět zde.

To ukazuje, že je třeba začít s úplně novým přístupem k obecným mocninám. Klíč je schován v předchozí sekci, máme tam vzorec, který transformuje mocniny na součiny.

Definice.
Nechť f,g jsou funkce. Definujeme obecnou mocninu f ^g vzorcem

f (x)^g(x) = e^{ln[f (x)]⋅g(x)} = e^{g(x)⋅ln[f (x)]}.

Například význam funkce x^x je podle definice e^x⋅ln(x).

Všimněte si, že ve výrazu napravo nejsou žádné obecné mocniny, jen obyčejné skládání s logaritmem, násobení a exponenciála, což jsou všechny pěkné funkce. Všechno, co děláme s funkcemi, které jsou obecné mocniny - definiční obor, limita, derivace - se musí dělat skrze tento vzorec "e na logaritmus". Co dostaneme?

Když se podíváme na definici f ^g, vidíme, že aby e^{ln[f (x)] g(x)} mělo smysl, musí být splněny tyto podmínky: f (x) musí mít smysl, g(x) musí mát smysl a ln[f (x)] musí mít smysl, tj, potřebujeme f (x) > 0.

Máme tedy toto:

D( f ^g) = {x∈D( f ) ∩ D(g); f (x) > 0}.

Podobně derivovat f ^g znamená derivovat e^{ln[f (x)] g(x)}. Pomocí řetízkového pravidla a součinového pravidla dostaneme toto:

[f ^g]′ = e^ln( f )g ⋅ [ln( f )g]′ = f ^g ⋅ [(f ′/f )g + ln( f )g′].

Lidé si obvykle tyto vzorce nepamatují, protože to není třeba. Jediné, co je potřeba, je toto základní pravidlo: Když pracujete s obecnými mocninami, vždy je převeďte do tvaru "e na logaritmus".

Příklad: Nalezněte definiční obor a derivaci x^x.

Řešení: Máme x^x = e^x⋅ln(x). Protože exponenciála akceptuje libovolné číslo, definiční obor je určen logaritmem:

D(x^x) = (0,∞).

Snadno také najdeme derivaci:

[x^x]′ = [e^xln(x)]′ = e^xln(x) ⋅ [xln(x)]′ = x^x ⋅ [ln(x) + x(1/x)] = x^x ⋅ [ln(x) + 1].

Pro další informace ohledně této funkce viz příslušný příklad v části Derivace - Cvičení - Průběh funkce.

Poznámka: Jedna z chyb, kterou studenti často dělají, je pokus se vyvléknout z onoho (přiznejme si komplikovaného) postupu "e na logaritmus". V typickém případě si zkusí představit, že základ nebo exponent jsou jen nějaké číslo a použijí příslušné vzorce. To je samozřejmě špatně, jak hned uvidíme:

Předstíráme, že x^x je mocnina, a použijeme příslušný vzorec pro derivaci:

[x^x]′ = x⋅x^x−1 = x^x.

Předstíráme, že x^x je exponenciála se základem x, a použijeme příslušný vzzorec pro derivaci:

[x^x]′ = ln(x)⋅x^x.

Kdybych dostal korunu pokaždé, když jeden z těchto dvou nesprávných postupů opravuju v písemce, tak bych, ehm, měl všechny ty koruny. Berte to jako varování a zkuste to dělat správně.

Goniometrické funkce
Zpět na Teorie - Elementární funkce