Derivace a konvexita

Věta (derivace a konvexita).
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a dvakrát diferencovatelná na jeho vnitřku I o.
Jestliže f ′′ ≥ 0 na I o, pak je f konvexní na I.
Jestliže f ′′ ≤ 0 na I o, pak je f konkávní na I.

Jestliže je f konvexní na I, pak f ′′ ≥ 0 na I o.
Jestliže je f konkávní na I, pak f ′′ ≤ 0 na I o.

Stejně jako v předchozí sekci o monotonii jsme se i zde museli omezit na souvislé množiny neboli intervaly.

Pro identifikaci bodů inflexe můžeme použít klasifikační větu s předchozí sekce:

Věta.
Nechť a je bod z definičního oboru funkce f, předpokládejme, že f tam má všechny derivace a f ′(a) = 0. n je nejmenší celé číslo takové, že f (n)(a) není nula.
Jestliže je n liché, pak má f v a inflexní bod.

V praxi je ale snažší dostat tuhle informaci z intervalů konvexity. Pro tohle a další praktické informace viz Konvexita v části Teorie - Průběh funkce.


Triky s Větou o střední hodnotě
Zpět na Teorie - Věta o střední hodnotě