V této sekci budeme předpokládat, že zkoumáme "pěknou" funkci ve smyslu, že se dá její definiční obor rozdělit na podintervaly tak, aby na každém z nich byla funkce striktně monotonní a diferencovatelná. Samozřejmě ne každá funkce má tyto vlastnosti, například Dirichletova funkce (v části Funkce - Teorie - Elementární funkce) nemá ve svém definičním oboru jediný interval, na kterém by byla monotonní. Naštěstí funkce, které potkáme, téměř vždy padnou do kategorie "pěkných".
Jádrem této sekce je určení intervalů striktní monotonie. Hlavním nástrojem jsou věty ze sekce Derivace a monotonie v části Teorie - Věta o střední hodnotě. Z těch můžeme odvodit následující:
Fakt.
Nechť f je funkce. Předpokládejme, že pro nějakéa < b < c je tato funkce rostoucí na(a,b) a klesající na(b,c), nebo klesající na(a,b) a rostoucí na(b,c). Pak buďf ′(b) = 0 nebo f nemá derivaci v b.
To inspiruje následující definici.
Definice.
Nechť je funkce f definovaná na nějakém okolí bodu c. Řekneme, že c je kritický bod, jestližef ′(c) = 0 nebof ′(c) neexistuje.
Někteří autoři jim říkají stacionární body. Ten Fakt výše je implikace, takže ne každý kritický bod odděluje intervaly odlišné monotonie, ale kritické body jsou přirozenými kandidáty.
První krok při zkoumání monotonie funkce f : Začneme intervaly, ze kterých se skládá definiční obor f. Pak najdeme všechny kritické body. Tyto dále rozdělí intervaly definičního oboru na podintervaly, na každém z nich je funkce striktně monotonní.
Protože ten Fakt je jen implikace, tak se může stát, že definiční obor rozdělíme v kritickém bodě, kde se ve skutečnosti monotonie nemění. Budeme proto muset do dalšího kroku také zahrnout nějaký způsob rozpoznávání "falešných" dělících bodů a případně intervaly zase spojit. Z praktického pohledu to znamená, že se nemusíme tolik bát vzít nějaké dělící body navíc. Hlavně se to týká druhé podmínky pro kritický bod: Nemusíme přesně zjišťovat, kde není derivace, ušetříme čas a prostě vezmeme všechny body, kde to s derivací vypadá podezřele (například kde se stýkají dva různé vzorce u funkcí definovaných rozpisem).
Ke zjištění, jaký typ monotonie na výsledných intervalech máme, použijeme tuto větu:
Věta.
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a diferencovatelná na jeho vnitřku I o.
Jestližef ′ > 0 na I o, pak je f rostoucí na I.
Jestližef ′ < 0 na I o, pak je f klesající na I.
Druhý krok při zkoumání monotonie funkce f : Pro každý interval z prvního kroku zjistíme, jaké znaménko má derivace uvnitř tohoto intervalu. Protože toto znaménko musí být na celém takovém intervalu stejné, nejjednodušší způsob určení znamének je vybrat nějaký bod z intervalu a dosadit jej do f ′. Znaménka pak určí typ monotonie. Pro příklad viz níže.
Otázka: Ne každý kritický bod opravdu odděluje intervaly různé
monotonie. Co se stane, když ve výše popsané proceduře použijeme takový
"falešný" dělící bod?
Odpověď:
Nic co by nešlo spravit, prostě jsme jen rozdělili na dva interval, který by
měl zůstat pohromadě. Jinými slovy, po skončení druhého kroku bychom se měli
podívat na vzniklou situaci, zda někde nejsou sousedící intervaly stejné
monotonie, a zeptat se, zda je nejde spojit. Někdy je to snadné, vždy můžeme
spojit sousedící intervaly stejné monotonie v případě, že je funkce spojitá v
bodě, kde se setkávají. Jinak se musíme podívat, co se děje v onom spojovacím
bodě, pro detaily viz
Monotonie
v části Funkce - Teorie - Reálné funkce.
Otázka: Kdy dáme do odpovědi uzavřené intervaly?
Odpověď:
Vždy se snažíme dávat maximální intervaly monotonie. Proto bychom měli
intervaly slepovat, kde je to možné (viz předchozí otázka), a proto bychom
měli zkoušet přidávat koncové body intervalů, pokud to jde. Zde ale lidé
nebývají příliš dogmatičtí. Snadný případ je, když je funkce v daném koncovém
bodě spojitá z příslušné strany (pro pravý koncový bod potřebujeme spojitost
zleva a naopak), pak je můžeme přidat. Jestliže spojitost nemáme, museli
bychom dále pracovat, ale tradičně se lidem nechce a prostě se interval nechá
otevřený. Je to takhle vlastně docela praktické, uzavřené konce intervalů
monotonie indikují spojitost.
Zde zase máme tvrzení, které nám pomůže omezit se pouze na malou množinu kandidátů.
Věta.
Nechť je funkce f definovaná na nějakém okolí bodu c. Jestliže má f lokální extrém v c, pak c musí být kritický bod.
Takže abychom našli lokální extrémy, nejprve najdeme všechny kritické body a pak je vyšetříme. Pro klasifikaci extrémů máme větu v sekci Derivace a monotonie v části Teorie - Věta o střední hodnotě, ale používá se zřídka. Jednak není spolehlivá, druhak lokální extrémy obvykle hledáme v situaci, kdy také zkoumáme monotonii, a pomocí této informace můžeme lokální extrémy snadno klasifikovat.
Fakt.
Nechť je f spojitá v c.
Jestliže existuje pravé okolí c, na kterém je f rostoucí, a levé okolí a, na kterém je f klesající, pak má f lokální minimum v c.
Jestliže existuje pravé okolí c, na kterém je f klesající, a levé okolí a, na kterém je f rostoucí, pak má f lokální maximum v c.
Jestliže spojitost nemáme, pak situaci musíme zkoumat blíže pomocí jednostranných limit a znalosti monotonie okolo c. Případů je mnoho a nestojí za to je všechny procházet, selský rozum by měl stačit. Uvažujme například následující případy:
Na prvním, třetím a pátém obrázku máme lokální maximum v c, zatímco druhý a čtvrtý obrázek ukazuje funkce, které nemají lokální maximum v c.
Pro praktický přehled odkazujeme na sekci Monotonie v části Přehled metod - Průběh funkce.
Příklad: Určete monotonii a lokální extrémy funkce
Řešení:
Definičním oborem je celá reálná osa, takže máme jeden startovní interval,
jmenovitě
Najdeme derivaci:
Kritické body:
Máme tedy tři intervaly monotonie:
Dosadíme
Vidíme, že f je klesající na prvních dvou intervalech a rostoucí na
třetím. Máme stejnou monotonii na sousedících intervalech, dají se spojit?
Protože je f spojitá v 0, odpověď je kladná. Závěr tedy je, že
f je klesající na
Kritické body jsou také kandidáti pro lokální extrémy. Když se podíváme, jak
jde monotonie, tak vidíme, že v 0 žádný lokální extrém není a že
Tento proces jde trochu zestručnit pomocí tabulky. Pro detaily viz Monotonie v části Přehled metod - Průběh funkce.