Monotonie a lokální extrémy: Přehled metod

Nechť f je "rozumná" funkce, což zde znamená, že se její definiční obor skládá z nejvýše spočetně intervalů, na každém z nichž je funkce diferencovatelná. Chceme určit intervaly monotonie a lokální extrémy.

Algoritmus:
Krok 1. Identifikujeme intervaly definičního oboru f.
Krok 2. Najdeme derivaci f ′. Najdeme kritické body, tj. body, kde f ′(x) = 0 nebo f ′ neexistuje. Tyto body rozdělí intervaly z kroku 1 na intervaly monotonie.
Poznámka: Není třeba přesně zjišťovat, kde derivace opravdu neexistuje, stačí zahrnout všechny body, kde je to s existencí podezřelé; případné body navíc se vyloučí v dalších krocích (viz spojování sousedících intervalů stejné monotonie).
Krok 3. Pro každý z intervalů z Kroku 2 určíme znaménko derivace. Obecná metoda: Dosadíme bod z vnitřku takového intervalu do f ′ a dozvíme se znaménko.
Speciální metoda pro derivace, které jsou součiny/podíly faktorů: Určíme znaménko každého faktoru zvlášť a pak násobíme znaménka pomocí standardní znaménkové algebry. To se nejlépe dělá tabulkou (viz Příklad níže).
Krok 4. Určíme monotonii ze znamének f ′. Funkce f je rostoucí na intervalech, kde je f ′ kladná. Je klesající na intervalech, kde je f ′ záporná.
Pokud máme sousedící intervaly stejné monotonie, tak ověříme, zda nejdou spojit (například pokud je funkce spojitá v bodě dotyku těchto dvou intervalů, pak to vždycky jde). Když píšeme v odpovědi intervaly, tak uzavíráme koncové body, ve kterých je f spojitá z příslušné strany.
Krok 5. Určíme lokální extrémy. Lokální minima jsou všechny body definičního oboru, kde se f mění z klesající v rostoucí a je spojitá. Lokální maxima jsou všechny body definičního oboru, kde se f mění z rostoucí na klesající a je spojitá. U kritických bodů, kde f není spojitá, je třeba další analýza.

Pro pozadí tohoto algoritmu viz Monotonie a lokální extrémy v části Teorie - Průběh funkce.

Příklad: Určete monotonii a lokální extrémy funkce

Řešení: D( f ) = (−∞,−1) ∪ (−1,∞). Začneme se dvěma intervaly.

Kritické body: f ′(x) = 0 dává x = −3 a x = 0; v definičním oboru nejsou body, kde by derivace neexistovala, tudíž nejsou další kritické body. Dostaneme čtyři intervaly. Dáme je do tabulky, použijeme uzavřené konce tam, kde je f spojitá z příslušné strany. Do řádků dáme jednotlivé faktory derivace a určíme jejich znaménka na všech intervalech, pak uděláme závěr.

Vidíme dva sousedící intervaly shodné monotonie, měli bychom se tedy zeptat, zda mohou být spojeny. Protože je f spojitá v 0, tak ano.

Závěr: f je rostoucí na (−∞,−3⟩ a na (−1,∞), je klesající na ⟨−3,−1). Má lokální maximum f (−3) = −11/8.

Poznámka: f také mění monotonii v −1, ale tento bod není v definičním oboru, takže není lokální extrém. Mimochodem, pokud chcete vidět, jak tato funkce vypadá, podívejte se na Příklad v sekci Přehled metod - Průběh funkce - Přehled).

Poznámka: Metoda tabulkou má jednu výhodu, není nutné dosazovat body z intervalů do derivace (nebo jejích faktorů). Pokud je faktor lineární, pak mění znaménko jen jednou, jmenovitě v bodě, kde je nula. Stačí si tedy v tabulce poznamenat, kde je tento dělící bod, a pak dát jedny znaménka doprava a opačná doleva. Má to jít − + nebo + −? To se snadno pozná, stačí dosadit jiný bod než ten dělící, dokonce je možné se zeptat, co se stane, když x jde do nekonečna, zda se faktor stane kladným nebo záporným. Pro další pohled na tuto věc viz Nerovnice se znaménky v sekci Řešíme rovnice a nerovnice v části Extra. Tato možnost vyhnout se dosazování čísel z intervalů může dost pomoci v případě malého intervalu, například v intervalu (2,3) nemáme žádné pěkné celé číslo k dosazení.

Pro další příklady viz Monotonie a lokální extrémy v části Teorie - Průběh funkce a příslušné příklady v části Řešené příklady.

Konvexita a inflexní body
Zpět na Přehled metod - Průběh funkce