Příklad: Nahradíme funkci e^x jejím Taylorovým polynomem stupně 60 a se středem a = 0. Odhadněte chybu aproximace, pokud toto použijeme pro x mezi 0 a 20. Odhadněte tam relativní chybu aproximace.

Řešení: Použijeme Lagrangeův tvar zbytku. Uvažujme nějaké x > 0, nechť I je uzavřený interval od 0 do x. Když si uvědomíme, že 61. derivace e^x je zase e^x (což je vždy kladné), dostaneme následující odhad.

Protože je exponenciála rostoucí, maximum se nabývá na pravém konci I, takže dostaneme (připomeňme, že x je nejvýše 20)

Relativní chyba: Relativní chyba je absolutní chyba E(x) porovnaná se skutečnou hodnotou e^x. Dostaneme tedy

Poznámka:
1. Když se podíváme na odhad chyby, zdálo by se, že aproximace je dost špatná (chyba 22 tisíc). Víme nicméně, že aproximace je tím horší, čím dále jsme od centra a, takže ty velké chyby nejspíše naskakují poblíž 20. Tam už je ovšem e^x také dost velké, takže dokonce ani tak velká chyba nemusí být úplně špatná. Všimněte si, že to funguje i naopak. Když zjistíme, že je chyba aproximace malá, tak to ještě nemusí zaručit, že je aproximace dobrá: Pokud je totiž aproximovaná hodnota extrémně malá, pak ji může dokonce i zdánlivě malá chyba zcela zkreslit.

Abychom věděli najisto, jak dobrá je naše aproximace, musíme se ptát na relativní chybu. A také v našem příkladě vidíme, že chyba aproximace není ani promile skutečného výsledku; jinak řečeno, když použijeme výše zkoumanou aproximaci, pak je řád výsledku a prvních pět jeho cifer určitě dobře. Dokonce možná i více, protože Lagrange dává nejhorší možný scénář, zatímco exponenciála je docela pěkná funkce. Máme tedy dost dobrou aproximaci.

Jako poslední si ještě všimneme, že bylo naprosto zásadní, že jsme hned od začátku věděli, jak je x omezeno. Pokud bychom povolili libovolné x, pak žádný Taylorův polynom nemůže dát konzistentně dobré aproximace. Kdybychom například jako horní mez vzali 30 místo 20, pak už by byla relativní chyba daleko horší a museli bychom zvýšit stupeň, abychom se dostali zpět na přesnost, kterou zde máme.

2. Tento příklad je úzce svázán s vývojem kalkulaček. Bohužel neexistuje algebraický vzorec, který by nám dával hodnoty populárních elementárních funkcí jako exponenciála, logaritmus, sinus, kosinus a vůbec všechny goniometrické funkce. Jak je tedy na naší kalkulačce dostaneme, když procesor v zásadě umí jen sčítat a násobit? Dělá se to tak, že se ty funkce aproximují. Všimněte si, že u kalkulaček máme podobnou situaci jako v našem příkladě. Kalkulačka má omezený rozsah pro x (typicky mezi −10⁹⁹ a 10⁹⁹) a z každého čísla si pamatuje jen určitý počet cifer (typicky 12 až 13), takže všechny chyby, které neovlivní tyto cifry, jsou irelevantní (kalkulačka sama už dělá chybu této velikosti tím, že zaokrouhluje na příslušný počet cifer). To vede na následující problém: Najděte stupeň Taylorova polynomu, kterým aproximujeme danou funkci tak, aby relativní chyba pro |x| nejvýše 10⁹⁹ byla méně než 10⁻¹³. Pro pěkné funkce se toto dá udělat.

Tohle nicméně není přesně způsob, kterým se to v kalkulačkách a počítačích dělá, protože počítat polynom takto vysokého stupně vyžaduje ohromné množství času. Používají tedy rozličné triky, aby snížili počet nutných algebraických operací. Jeden takový je přerovnat Taylorův polynom tak, aby se snadněji počítal. Další trik je uložit v paměti mnoho hodnot dané funkce (které se počítají jen jednou při návrhu kalkulačky, takže si můžeme počkat), a když pak někdo chce použít jiný argument, kalkulačka to aproximuje ze dvou nejbližších hodnot - není pak třeba tak náročné aproximace. Narážíme tím vlastně na velice komplikovanou a pokročilou (a evidentně užitečnou) oblast matematiky, ale to je jiná pohádka.

Zpět na Řešené příklady - Aplikace