Řešené příklady pro derivace: Aplikace

Zde ukážeme několik typických aplikací, které používají derivaci.
Pokud chcete nějaký text o tomto tématu sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Přehled metod.

• Příklad: Najděte tečnu a normálu v bodě a = 1 ke grafu funkce

  

• Příklad: Kde je tečna ke grafu funce

  f (x) = x³ − 3x² − 9x + 11

  vodorovná?

• Příklad: Najděte globální extrémy funkce

  f (x) = x² − 8|x − 1| + 8

  na intervalu I = ⟨−1,6⟩.

• Příklad: Najděte globální extrémy funkce

  

  na intervalu I = ⟨1,∞).

• Příklad: Nápoj se má prodávat v plechovkách tvaru válce. Objem válce musí být 350 cm³. Jaké rozměry dají minimální povrch (a tedy minimální cenu materiálu)?

• Příklad: Na přímém pobřeží je strom a přesně naproti němu, 100 m v moři, stojí maják. Silný a tenký paprsek světla na jeho vrcholu se otáčí rychlostí jedna otáčka za 4 sekundy, jeho světlo vytváří na břehu běžící světelnou skvrnu. Stojíte na břehu 100 m od stromu. Jak rychle se tato skvrna pohybuje, když jde mimo vás?

• Příklad: Najděte Taylorův polynom stupně 3 a stupně n se středem a = 0 pro funkci

  f (x) = ln(1+2x).

• Příklad: Použijte tečnu k nalezení aproximačního vzorce pro

  

  pro x blízko 1.

• Příklad: Použijme Taylorův polynom druhého stupně k odhadu cos(0.5).
  Odhadněte chybu této aproximace.

• Příklad: Nahradíme funkci e^x jejím Taylorovým polynomem stupně 60 a se středem a = 0. Odhadněte chybu aproximace, pokud toto použijeme pro x mezi 0 a 20. Odhadněte tam relativní chybu aproximace.