Náčrt parametrických funkcí

Uvažujme parametrickou křivku danou rovnicemi
x = x(t),
y = y(t)   pro t z nějakého intervalu I.
Předpokládejme, že funkce x(t), y(t) jsou dvakrát diferencovatelné na I. Chceme tuto křivku načrtnout.

Nejprve zkusíme zjistit co nejvíce z popisu, který máme, a pak použijeme přístup přes funkce. Většina bude selský rozum; nejdůležitější věc, kterou je třeba mít na paměti, je to, že budeme míchat "časový" a prostorový pohled a přesouvat informaci z jednoho systému do druhého. Vědět, kde se v každé dané fázi výpočtu nacházíte, je zásadní a také v zásadě postačující pro úspěšné zvládnutí úkolu. Abychom naše úvahy ilustrovali, budeme simultánně s výkladem pracovat na příkladě.

Příklad: Zkoumejte parametrickou křivku
x = (t − 1)2,
y = t3,   t ≥ 0.

Teorie: Co se dá z popisu říci? První důležitá informace je o koncích. Jestliže interval I zahrnuje některé ze svých koncových bodů, pak dosazením takového času do x a y zjistíme, kde dráha začíná nebo končí. Pokud některý koncový bod zahrnut není, pak najdeme příslušnou jednostrannou limitu x a y vzhledem k t. Interpretace těchto výsledků je docela zajímavá. Jestliže jsou obě limity vlastní, pak křivka prostě jde k bodu, který jsme tak dostali. Jestliže jsou obě limity nevlastní, pak křivka jde do jednoho z rohů. Selský rozum by měl napovědět, například jestliže x→∞ a y→∞, pak křivka jde směrem k pravému hornímu rohu; jestliže x→−∞ a y→∞, pak křivka jde směrem k levému hornímu rohu. Dá se pak zkoumat asymptota prostou adaptací příslušných vzorců. Přímka y = Ax + B je asymptotou, jestliže

Zajímavý případ je, když je jedna limita vlastní a druhá nevlastní. Pak totiž dostaneme vodorovné a svislé asymptoty, jak ukazujeme na tomto obrázku:

Další tradiční informace jsou průniky s osami. Průniky s osou x jsou dány časy t splňujícími y(t) = 0, zatímco průniky s osou y jsou dány časy, kdy t splňuje x(t) = 0. Každý takový čas dosadíme do x i y a dostaneme body v rovině, skrz které křivka jde. Mimochodem, při zakreslování bodů je dobré také poznamenat, v jaké časy se do nich křivka dostane, pomůže to při kreslení dráhy.

Zpět k našemu Příkladu: Interval I = ⟨0,∞) obsahuje svůj levý koncový bod, proto můžeme dosadit t = 0 do x a y a dostaneme bod (1,0). Druhý konec I je nekonečno, takže najdeme

Křivka tedy začíná v bodě (1,0), pak se prochází kolem a nakonec zmizí v pravém horním rohu. Protože jde y/x do nekonečna pro čas jdoucí do nekonečna, vidíme, že tam není asymptota (také to naznačuje, že se křivka stáčí spíš k y-nekonečnu než k x-nekonečnu; v obrázku se tedy asi bude stáčet nahoru).

Průsečíky: Průsečík s osou y je dán rovnicí (t − 1)2 = 0, což má jediné řešení t = 1. Tento čas dává bod (0,1). Teď se podíváme po průsečíku s osou x. Rovnice t3 = 0 má jediné řešení t = 0, což dává bod (1,0).

Teorie: Teď se podíváme po dalších bodech křivky. Samozřejmě chceme body "důležité", kde se něco mění. Začneme s x. Tato proměnná zaznamenává pohyb ve vodorovném směru, takže když x roste, pokybuje se křivka doprava. Jestliže x klesá, tak se křivka pohybuje zprava doleva. Lokální extrémy x jako funkce jsou otočné body pro dráhu. Další přirozený krok je tedy zkoumat monotonii funkce x jako samotné. Namísto růstu/klesání ale budeme znaménka derivace interpretovat jako pohyb doleva/doprava po křivce. Časy t, které dávají lokální extrémy x, dají po dosazení do x a y body obratu.

Všimněte si, že tato informace ještě není dostatečná na to, aby dala dobrou představu o dráze. Na následujícím obrázku mají obě křivky stejné otočné body vzhledem k x a identické pravolevé směry, ale jsou dost rozdílné.

Abychom dostali lepší informaci, podíváme se podobně na funkci y, která dává svislý pohyb, takže když ji prozkoumáme jako nezávislou funkci, tak časy t odpovídající lokálním extrémům ukážou, kde se dráha mění mezi směry nahoru a dolů.

Zpět k našemu Příkladu: Najdeme (t) = 2(t − 1), má jeden kritický bod t = 1, takže dostaneme

Čas obrátky t = 1 dává bod (0,1), ten už jsme měli coby průnik.

Máme také (t) = 3t2, to má jeden kritický bod t = 0, ale to je koncový bod I, a tak odtud nevyjdou nové intervaly.

Lepší představu o směru dráhy dostaneme, když tyto samostatné tendence zkombinujeme.

Teď známe základní směry a můžeme nakreslit hrubý obrázek.

Všimněte si zajímavé věci. Když se díváme na části křivky jako na grafy dané nějakým y(x), pak se směr, kterým podél křivky jdeme, stane irelevantním. V první části cesty, pro časy mezi 0 a 1, leze brouk či co směrem nahoru, ale tvar coby graf je klesající. Následující obrázek ukazuje, že dva rozdílné pohyby vedou na stejnou monotonii grafu.

V té tabulce nahoře to odpovídá tomu, že odmažeme šipky, pak dostáváme jen rostoucí a klesající tendence grafu. Všimněte si, že poslední obrázek ukazuje, že rostoucí graf dostaneme pro kombinace + + a − − znamének a . Na druhou stranu kombinace + − a − + dávají klesající graf. To by mělo připomenout znaménkovou algebru a není to náhoda, protože prostorová derivace funkce dávající graf je y′ = / (viz předchozí sekce). Znaménko prostorové derivace je tak opravdu určeno znaménky jednotlivých derivací souřadnic a znaménkovou algebrou.

Zatím jsme ještě opravdu nepotřebovali pohled prostřednictvím funkcí. Jak jsme právě viděli, můžeme zkoumat pohyb pravolevý a nahoru/dolů, nebo uvažujeme funkci y popisující křivku a zkoumáme její znaménko, nakonec dostaneme pro křivku stejné tendence. Teď bychom nicméně rádi dále zpřesnili obrázek, což volá po konvexitě a tam už potřebujeme přístup skrz funkce.

Připomeňme vzorec pro druhou prostorovou derivaci:

Zpět k našemu Příkladu: V našem případě dostaneme

Jaké jsou dělící časy pro konvexitu? Z čitatele máme t = 0 a t = 4/3, jmenovatel dává t = 1 (kdy derivace neexistuje). Dostaneme

Čas t = 4/3 dává bod (1/9,64/27). Tím je uzavřena "standardní" část. Zde uděláme ještě pár věcí. Když máme graf, který začíná ve vlastním bodě, obvykle se tam také podíváme na jednostrannou derivaci. Zde

Teď bychom tedy měli být schopni křivku nakreslit. Protože o časech po 4/3 máme málo informace, zkusíme t = 2 a dostaneme bod (1,8). Protože křivka jde nahoru docela rychle, zdá se jako dobrý nápad zmenšit osu y vzhledem k ose x, aby se tam obrázek lépe vešel.

Ještě jeden trik, který se dá zkusit: Když je čas opravdu velký, pak je x přibližně t2. Odtud můžeme vyjádřit t a dosadit do y, čímž se dozvíme, že pro opravdu velké časy křivka vypadá jako graf funkce y = x3/2.


Zpět na Teorie - Implicitní a parametrické funkce