Riemannův integrál je založen na aproximaci pomocí obdélníků. Pokud je f Riemannovsky integrovatelná, pak je pro opravdu úzké obdélníky chyba aproximace téměř nulová. Jaký je nejužší možný obdélník? Tato otázka nemá odpověď, protože tloušťku lze udělat libovolně malou, v limitním případě se dostane obdélník nulové šířky, což už není vůbec obdélník.

Teď uvedeme differenciál dx, což je nekonečně malý kousek osy x (ale jeho délka přesto není nulová). Samozřejmě taková věc vůbec neexistuje, krása této myšlenky je ovšem v tom, že když se používá opatrně, tak se zdá, že funguje; co je důležitější, když se při přemýšlení o matematických myšlenkách používá dx, tak často vypadají mnohem přirozeněji a jednodušeji. To je také důvod, proč většina matematiků, i když dobře ví, že žádné nekonečně malé kousky osy x neexistují, stejně používá pojmu dx při přemýšlení nad problémy. Samozřejmě, když tak přijdou k nějakému závěru, tak to musí být korektně zkontrolováno a dokázáno. My teď aplikujeme přístup pomocí dx na určitý integrál.

Protože je dx nekonečně malé, každý opravdický obdélník bude širší než obdélník šířky dx. Obdélník šířky dx je tedy ten nejužší obdélník, jinými slovy, chyba aproximace bude zanedbatelná. To je mimo jiné dáno tím, že každý kousek grafu f o šířce dx je tak malý, že můžeme předpokládat (aniž bychom dělali chybu), že je to kousek přímky. Pokusíme se to ukázat na obrázku, kde zvětšíme kousíček grafu:

Oblast pod tímto kouskem je tedy přesně lichoběžník (vodorovná základna na ose x, svislé strany, přímka na horní straně). Jeho obsah se spočítá vynásobením základny dx výškou měřenou uprostřed, což je f (x). Abychom získali celkový obsah, jednoduše sečteme obsahy všech lichoběžníků:

Tato suma samozřejmě nemá smysl (což by nemělo překvapit vzhledem k tomu, že jsme začali představením neexistujícího nekonečně malého kousku osy x). Proč ne? Když rozdělíme oblast pod grafem na pruhy o nekonečně malé šířce, kolik jich bude? Odpověď je zřejmá: nekonečně mnoho. A nejen to, lichoběžníkú je dokonce nespočetně mnoho a proto nevíme, jak vlastně sčítat všechny jejich obsahy, my umíme sčítat jen konečně mnoho či spočetně mnoho čísel. Že celá ta sčítací věc smrdí se znázorní tím, že nahradíme sumační znaménko znaménkem integrálním:

Znovu zdůrazňujeme, že toto odvození nebylo korektní, nicméně tento způsob přemýšlení se zdá přirozený a často dobře funguje. Pokud si zvyknete na dx coby nekonečně malý kousek osy x, spousta dalších vzorců bude vypadat přirozeněji (objem, těžiště atd.).

Pro další informace o dx viz Leibnizovo značení v části Derivace - Teorie - Úvod.