Povrch rotačního tělesa

Uvažujme graf funkce f na intervalu ⟨a,b⟩.

Pokud zrotujeme tento graf okolo vodorovné osy rotace dané rovnicí y = A, kde A < min(f),

povrchový obsah výsledného povrchu je dán vzorcem

Pokud zrotujeme tento graf okolo svislé osy rotace dané rovnicí x = A, kde A < a,

povrchový obsah výsledného povrchu je dán vzorcem

Komplikovanější povrchy musí být rozloženy na povrchy výše uvedených typů.

Příklad: Uvažujme graf funkce f (x) = cosh(x) na intervalu ⟨0,1⟩. Najděte povrchový obsah povrchu získaného rotací tohoto grafu okolo osy x.

Řešení: Začneme obrázkem:

Osa rotace je dána rovnicí y = 0, takže počítáme:

Povrch daný rotující parametrickou křivkou

Uvažujme parametrickou křivku x = x(t), y = y(t) pro t z ⟨α,β⟩. Předpokládejme, že y(t) ≥ 0 pro všechna t a že x(t) je monotonní:

Povrchový obsah povrchu daného rotací této křivky okolo vodorovné osy rotace dané rovnicí y = A, kde A < min(y(t)), je roven

Povrchový obsah povrchu daného rotací této křivky okolo svislé osy rotace dané rovnicí x = A, kde A < min(x(t)), je roven