Uvažujme řadu
"Limsup" verze:
Definujme
(OLK): Jestliže
(OLD): Jestliže
(PLK): Jestliže
(PLD): Jestliže
Poznámka o zkratkách: "O" jako odmocninové , "P" jako podílové, "L" jako limitní kritérium, "K" jako část o konvergenci, "D" jako část o divergenci.
Než přejdeme na verze s nerovnostmi, podíváme se na jednu zajímavou
anomálii. Všimněte si, že u odmocninového kritéria máme problém jen v
případě, kdy je limsup rovno 1. Na druhou stranu v podílovém kritériu nemáme
žádnou informaci o řadách, pro které je limsup alespoň 1 a liminf nejvýše 1,
což je velká množina, protože pro typickou posloupnost je její limsup větší
než liminf. Ona "nejistá oblast" je tedy pro podílové kritérium mnohem větší
než pro odmocninové. Dal by se "liminf" v posledním tvrzení nahradit operací
"limsup"? Rozhodně ne. Je snadné ukuchtit konvergentní řadu, která bude mít
limsup větší než 1, například tento příklad v části Řešené příklady - Testování
konvergence má dokonce
Teď si připomeneme obecnou verzi s nerovnostmi.
"Nerovnostní" verze:
(ONK): Jestliže existují N a
(OND): Jestliže
(PNK): Jestliže existují N a
(PND): Jestliže existuje N takové, že
Zase vidíme rozdíl v "divergenčních" tvrzeních mezi odmocninovým kritériem
a podílovým kritériem. Výše jsme citovali jeden řešený příklad, stejná řada
ukazuje, že konvergentní řada může mít nekonečně mnoho podílů
Teď přejdeme k tomu zajímavému, budeme porovnávat verze "L" s verzemi "N", abychom viděli, která je obecnější. Za tím účelem budeme porovnávat předpoklady tvrzení citovaných výše.
1. Předpoklady (OLK) resp. (PLK) jsou přesně ekvivalentní předpokladům (ONK) resp. (PNK). Jinými slovy, pokud nějaká řada splňuje předpoklady řekněme (OLK), pak také splňuje předpoklady (ONK), a naopak, takže oba tyto testy dávají konvergenci pro stejné řady; totéž platí pro konvergenční části (PLK) a (PNK). Pro konvergentní případy tedy mají limitní verze a nerovnostní verze stejnou "sílu", jedno není lepší než druhé, jde jen o jiné vyjádření téhož.
2. Předpoklady (OLD) resp. (PLD) jsou silnější než předpoklady
(ONK) resp. (PNK). To znamená, že pokud řada splňuje řekněme předpoklady
(OLD), pak také automaticky splňuje předpoklady (OND), takže můžeme namísto
prvního použít ten druhý test. Nicméně ne každá řada, která splňuje
předpoklady (OND), také splňuje předpoklady (OLD). Přesně řečeno, když
Podobně pokud řada splňuje předpoklady (PLD), tak také musí splňovat předpoklady (PND), ale nefunguje to naopak, protože se může objevit případ, že liminf je 1. Závěr tedy je, že co se týče "divergentních" tvrzení, tak jsou "nerovnostní" verze obou testů silnější, univerzálnější. Jinými slovy, kdykoliv nám limitní verze umožní udělat nějaký závěr, tak místo toho můžeme také použít verzi s nerovnostmi, ale jsou situace, kdy pomohou jen ty druhé a limitní selžou.