Uvažujme řadu  ∑ ak  s kladnými členy. Budeme uvažovat následující obecnější verze odmocninového kritéria a podílového kritéria.

"Limsup" verze:
Definujme

(OLK): Jestliže ϱ < 1, pak řada konverguje.
(OLD): Jestliže ϱ > 1, pak řada diverguje.
(PLK): Jestliže λ < 1, pak řada konverguje.
(PLD): Jestliže λ* > 1, pak řada diverguje.

Poznámka o zkratkách: "O" jako odmocninové , "P" jako podílové, "L" jako limitní kritérium, "K" jako část o konvergenci, "D" jako část o divergenci.

Než přejdeme na verze s nerovnostmi, podíváme se na jednu zajímavou anomálii. Všimněte si, že u odmocninového kritéria máme problém jen v případě, kdy je limsup rovno 1. Na druhou stranu v podílovém kritériu nemáme žádnou informaci o řadách, pro které je limsup alespoň 1 a liminf nejvýše 1, což je velká množina, protože pro typickou posloupnost je její limsup větší než liminf. Ona "nejistá oblast" je tedy pro podílové kritérium mnohem větší než pro odmocninové. Dal by se "liminf" v posledním tvrzení nahradit operací "limsup"? Rozhodně ne. Je snadné ukuchtit konvergentní řadu, která bude mít limsup větší než 1, například tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence má dokonce λ = ∞ a přesto ta řada konverguje. Tvrzení tedy nejsou tak pěkná, jak bychom rádi, ale je to to nejlepší, co jde s limitní verzí udělat.

Teď si připomeneme obecnou verzi s nerovnostmi.

"Nerovnostní" verze:
(ONK): Jestliže existují N a ϱ < 1 takové, že  (ak)1/k ≤ ϱ  pro všechna k > N, pak řada konverguje.
(OND): Jestliže  (ak)1/k ≥ 1  pro nekonečně mnoho k, pak řada diverguje.
(PNK): Jestliže existují N a λ < 1 takové, že  ak+1/ak ≤ λ  pro všechna k > N, pak řada konverguje.
(PND): Jestliže existuje N takové, že  ak+1/ak ≥ 1  pro všechna k > N, pak řada diverguje.

Zase vidíme rozdíl v "divergenčních" tvrzeních mezi odmocninovým kritériem a podílovým kritériem. Výše jsme citovali jeden řešený příklad, stejná řada ukazuje, že konvergentní řada může mít nekonečně mnoho podílů ak+1/ak větších než 1, takže opět to lépe nejde, v (PND) musíme požadovat, aby byly "všechny" velké.

Teď přejdeme k tomu zajímavému, budeme porovnávat verze "L" s verzemi "N", abychom viděli, která je obecnější. Za tím účelem budeme porovnávat předpoklady tvrzení citovaných výše.

1. Předpoklady (OLK) resp. (PLK) jsou přesně ekvivalentní předpokladům (ONK) resp. (PNK). Jinými slovy, pokud nějaká řada splňuje předpoklady řekněme (OLK), pak také splňuje předpoklady (ONK), a naopak, takže oba tyto testy dávají konvergenci pro stejné řady; totéž platí pro konvergenční části (PLK) a (PNK). Pro konvergentní případy tedy mají limitní verze a nerovnostní verze stejnou "sílu", jedno není lepší než druhé, jde jen o jiné vyjádření téhož.

2. Předpoklady (OLD) resp. (PLD) jsou silnější než předpoklady (ONK) resp. (PNK). To znamená, že pokud řada splňuje řekněme předpoklady (OLD), pak také automaticky splňuje předpoklady (OND), takže můžeme namísto prvního použít ten druhý test. Nicméně ne každá řada, která splňuje předpoklady (OND), také splňuje předpoklady (OLD). Přesně řečeno, když  (ak)1/k ≥ 1  pro nekonečně mnoho k, tak limit superior může být větší než 1 ale také rovno 1. Pro takové řady jsme v situaci, kdy se "nerovnostní" verze odmocninového kritéria dá použít, ale "limsup" verze může skončit neurčitým výsledkem.

Podobně pokud řada splňuje předpoklady (PLD), tak také musí splňovat předpoklady (PND), ale nefunguje to naopak, protože se může objevit případ, že liminf je 1. Závěr tedy je, že co se týče "divergentních" tvrzení, tak jsou "nerovnostní" verze obou testů silnější, univerzálnější. Jinými slovy, kdykoliv nám limitní verze umožní udělat nějaký závěr, tak místo toho můžeme také použít verzi s nerovnostmi, ale jsou situace, kdy pomohou jen ty druhé a limitní selžou.