Příklad: Určete, zda následující řada konverguje.

Řešení: Členy této řady jsou kladné, takže můžeme použít všechny ty báječné testy, ale možná je lepší začít bližším pohledem na ty členy. Vidíme, že ak = 1/2k pro sudá k a ak = 1/4k pro lichá k. Nemáme tedy pěkný výraz (nemůžeme to vyjádřit jako funkci), a tak není šance použít integrální kritérium.

Pro řady s mocninami často používáme podílové kritérium. Jak příslušný podíl vypadá?

Když k roste do nekonečna, tak liché zlomky utíkají do nekonečna, zatímco sudé jdou k nule. To ukazuje, že limita pro λ neexistuje a podílové kritérium ve své limitní verzi nefunguje. Ono dvojí chování ukazuje, že ani obecnější verze podílového kriéria (ty s nerovnostmi) nebudou fungovat, protože nedokážeme přinutit podíl ak+1/ak, aby zůstal pod 1, ani jej vytlačit nad 1. Tento test zde tedy nepomůže.

Což takhle odmocninové kritérium?

Stejně jako u podílového kritéria, limita pro ϱ neexistuje a tudíž limitní verze odmocninového testu nefunguje. Zde ale máme šanci použít obecnou verzi s nerovnostmi. Jestliže totiž vezmeme q = 1/2, pak q < 1 a pro všechna k máme

To dokazuje, že daná řada konverguje.

Alternativa: Můžeme také zkusit použít srovnání. Díky schizofrenní podstatě této řady nemůžeme doufat, že by se její členy podobaly nějaké věci pro velká k, čímž se vylučuje limitní srovnávací kritérium, ale máme tu pěknou příležitost použít to obyčejné srovnávací kritérium. Máme

Protože řada napravo konverguje (je to geometrická řada s |q| < 1), tak také řada nalevo musí konvergovat.

Alternativa: Je ještě jeden zajímavý trik, který by se dal zkusit. Daná řada má členy dvou typů, proto je můžeme rozdělit do dvou samostatných řad. Vyjádříme ji tedy jako součet  ∑ ak  a  ∑ bk,  kde

Co se dá říct o konvergenci těchto dvou řad? Na první pohled jsme si moc nepomohli, zase jsou obě takové dvojité, jenže - a to je právě ta finta - nuly se dají z řady bez problémů vypustit. Řady je tedy možno přepsat pomocí obvyklých výrazů pro sudá a lichá čísla následovně.

Vidíme, že v obou případech jde o geometrickou řadu, obě mají |q| < 1, proto obě konvergují. Součet dvou konvergentních řad zase konverguje, čímž jsme potvrdili konvergenci dané řady.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Testování konvergence