Je dána posloupnost funkcí
Otázka 1: Vyšetřete (bodovou) konvergenci dané posloupnosti
funkcí.
Řešení: Uvažujte obecné x z průniku definičních oborů, vemte
to jako pevný parametr a vypočítejte limitu posloupnost reálných čísel
Pro některá x to bude divergovat. Pro některá x tato limita
konverguje, nazvěte výsledné číslo
Otázka 2: Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci dané posloupnosti
funkcí.
Řešení: Nejprve najděte limitu f posloupnosti
Dále odhadněte množinu M (podmnožinu oboru konvergence), na které by
mohla být stejnoměrná konvergence. Typicky se začne s oborem konvergence,
popřípadě oborem konvergence bez malých okolí jeho krajních bodů.
Pro pevné k vypočítejte
Jestliže
Jestliže ne, pak byla nejspíše množina M příliš odvážná. Zkuste si
tipnout menší množinu, analýza onoho suprema by měla pomoci v určení, které
části původní M dělaly problémy.
Příklad: Vyšetřete konvergenci posloupnosti
Řešení: Nejprve prozkoumáme konvergenci. Uvažujeme x jako parametr a spočítáme limitu vzhledem k k.
Tato limita existovala pro všechny hodnoty x, takže obor konvergence
je celá reálná osa a daná posloupnost tam konverguje k funkci
Je tato konvergence stejnoměrná? Podíváme se na rozdíl. Pro jedno určité k dostáváme
Protože jsou všechna suprema nekonečno, není možné, aby šla k nule, tudíž
nemáme stejnoměrnou konvergenci na celé reálné ose. Problém je evidentně v
tom, že x může být libovolně velké. Odhadneme tedy, že budeme mít
lepší šanci, pokud budeme zkoumat stejnoměrnou konvergenci na uzavřeném
intervalu
Když pošleme k do nekonečna, tak jde Mk k
nule, což dokazuje, že daná posloupnost
Podobný argument by ukázal trochu obecnější fakt, který je i snažší
zformulovat: Konvergence je stejnoměrná na libovolné omezené podmnožině
reálných čísel.
Pro další příklady viz Řešené příklady - Řady funkcí.