Je dána řada funkcí
Otázka 1: Vyšetřete (bodovou) konvergenci a
absolutní konvergenci dané řady funkcí.
Řešení: Absolutní konvergence:
Uvažujte obecné x z průniku definičních oborů, vezměte jej jako pevný
parametr a otestujte konvergenci řady reálných čísel
Konvergence: Uvažujte obecné x z průniku definičních oborů, vezměte
jej jako pevný parametr a otestujte konvergenci řady reálných čísel
Otázka 2: Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci dané řady funkcí.
Řešení:
Nejprve zvolte rozumného kandidáta na množinu stejnoměrné konvergence M,
a to nějakou podmnožinu oboru konvergence.
V typickém případě nedostaneme stejnoměrnou konvergenci na
celém oboru konvergence, ale můžeme ji dostat, pokud odstraníme malá okolí
krajních bodů tohoto oboru konvergence, často je také potřeba odříznout
neomezené části. Velmi často máme stejnoměrnou konvergenci na libovolném
omezeném uzavřeném intervalu, který je podmnožinou oboru konvergence.
Když už se zvolila nadějná množina M, jak rozhodnete, zda je na ní
stejnoměrná konvergence? Ve velmi vzácných případech je znám součet řady
f. Pak spočítejte
Jestliže jde
V prakticky všech případech ale není součet f znám. Pak nejčastěji používáme Weierstrassovu větu.
Weierstrassovo kritérium.
Krok 2. Vyšetřete řadu
Poznámka: Někdy se jako ak dají vzít čísla větší než ona suprema, aby si člověk usnadnil vyšetřování výsledné řady, viz způsob, kterým je Weierstrassovo kritérium formulováno. Všimněte si také, že zkoumání suprem fk může napovědět při tipování správné M. Když zkoumáme suprema přes celý obor konvergence a výsledné ak tvoří divergentní řadu, pak často pomůže položit si otázku: Která část oboru způsobila, že jsou tyto ak příliš velké?
Weierstrassovo kritérium je docela silné a je to obvykle první volba metody, ale není všemocné. Pak je dobré znát nějaké alternativy, například Dirichletovo kritérium nebo Abelovo kritérium, viz sekci Řady funkcí v části Teorie - Řady funkcí.
Příklad: Vyšetřete konvergenci řady
Protože je číslo kx kladné pro libovolné reálné
x a každé přirozené číslo k, konvergence a absolutní
konvergence souhlasí. Jestliže je x pevně zvolené číslo, pak není
třeba hledat nějaké testy, jde o typickou
Závěr: Obor (absolutní) konvergence je interval
Víme, že se konvergence
Řada
Zkusíme to znovu, tentokráte s menší množinou M. Rozhodneme se
testovat stejnoměrnou konvergenci pro interval
Pak
a protože a bylo zvoleno větší než 1, podle
p-testu tato řada
konverguje. Tím jsou Weierstrassovy předpoklady splněny a dostáváme
stejnoměrnou konvergenci.
Závěr: Daná řada konverguje stejnoměrně na množinách
Pro další příklady viz Řešené příklady - Řady funkcí.