Příklad: Vyšetřete konvergenci následující posloupnosti funkcí:
Řešení: Nejprve se podíváme na bodovou konvergenci. Budeme považovat x za parametr a spočítáme limitu vzhledem ke k. Protože ten sinus v čitateli je v absolutní hodnotě omezený číslem 1 a jmenovatel jde do nekonečna, dostáváme
Formálně se dá použít například srovnání.
Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci
Jak je to se stejnoměrnou konvergencí? Začneme zkoumáním rozdílu mezi f a jednou konkrétní fk na právě zjištěném oboru konvergence.
Právě jsme dokázali stejnoměrnou konvergenci.
Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci 0 stejnoměrně na celé reálné ose.
Požádal jsem počítač o několik obrázků, abychom alespoň přibližně naznačili, co se tu děje.
Tento příklad je tak snadný, že se asi divíte, pro to tu ukazujeme; určitě na tomto příkladu musí být něco víc. A taky že ano, což rychle zjistíme, když zkusíme derivovat.
S výjimkou bodu
Abychom to shrnuli, máme funkce fk, které konvergují stejnoměrně k f na libovolném intervalu v kladné poloose, ale fk′ nekonvergují k f ′ na žádném takovém intervalu, dokonce ani ne bodově. To ukazuje, že derivování řad je opravdu choulostivá záležitost.