Je několik způsobů, jak použít srovnání k nalezení limity. Existují dvě jednostranná srovnání:
Uvažujme dvě funkce f a g takové, že
f ≤ g na nějakém prstencovém okolí bodu a.
Jestližef →∞ v a, pak takég→∞ v a.
Jestližeg→−∞ v a, pak takéf →−∞ v a.
Další srovnání s dvěma funkcemi používá absolutní hodnotu, je to verze Věty o sevření s absolutní hodnotou:
Uvažujme dvě funkce f a g takové, že
| f | ≤ g na nějakém prstencovém okolí bodu a.
Jestližeg→0 v a, pak takéf →0 v a.
Abychom dostali srovnáním nenulovou limitu, potřebujeme dvě omezení:
Věta o sevření:
Uvažujme tři funkce f, g a h, které splňujíf ≤ g ≤ h na nějakém omezeném okolí bodu a. Jestliže f konverguje k nějakému L v a a h konverguje ke stejnému L v a, pak také g konverguje k L v a.
Pro detaily viz sekce Limita a srovnání v části Teorie - Limita. Všechna tvrzení také platí pro jednostranná srovnání a jednostrané limity.
Výše uvedená tvrzení se nejčastějí používají z následujících dvou důvodů:
Důvod 1. Výrazy, které zkoumáme, obsahují části, které nemají limitu, ale jsou omezené - tedy něco, co osciluje. Nejtypičtějšími příklady jsou sinus a kosinus v nekonečnu.
Příklad: Ukážeme, že
Dosazení nekonečna nepomůže, protože sinus nemá limitu a tudíž nelze použít
algebra limit. Nicméně sinus je omezený hodnotami
pro
Funkce nalevo konverguje k 1 v nekonečnu:
Funkce napravo jde také k 1 v nekonečnu (je to konstantní funkce 1), proto podle Věty o sevření také daná funkce konverguje k 1 v nekonečnu. Naši úvhu můžeme vyjádřit takto:
Důvod 2. Někdy srovnání umožní zjednodušit výrazy a tak dovolí vyhnout se komplikovanějším metodám.
Příklad: Víme, že pro
V nekonečnu jde výraz napravo do nekonečna, proto podle srovnání tam jde do nekonečna také výraz nalevo. Kdybychom chtěli najít limitu výrazu nalevo v nekonečnu přímým výpočtem, museli bychom použít l'Hospitalovo pravidlo, což by nejspíše nebylo pěkné, nebo použít poněkud komplikovanější vytýkání vedoucích členů.
Srovnání se dělá ve dvou krocích:
Krok 1. Najdeme nějaké (nějaká) srovnání, tedy omezení pro danou funkci. Oscilující ale omezené členy mají přirozené meze, pomocí kterých lze algebraicky odvodit omezení pro celou funkci (jako v prvním příkladě). Často také dostaneme omezení tak, že ignorujeme určité části daného výrazu (jako v druhém příkladě).
Krok 2. Najdeme limitu omezující funkce (omezujících funkcí). Pak se podíváme, jestli je možný nějaká závěr pomocí výše uvedených tvrzení. Pamatujte, že Věta o sevření vyžaduje, aby obě omezující funkce šly ke stejné limitě.
V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě, tomto příkladě a tomto příkladě.
Další šuplík: pěkná vnější funkce
Zpět na Přehled metod - Limita