Šuplík "srovnání a oscilace"

Je několik způsobů, jak použít srovnání k nalezení limity. Existují dvě jednostranná srovnání:

Uvažujme dvě funkce f a g takové, že f ≤ g na nějakém prstencovém okolí bodu a.
Jestliže f →∞ v a, pak také g→∞ v a.
Jestliže g→−∞ v a, pak také f →−∞ v a.

Další srovnání s dvěma funkcemi používá absolutní hodnotu, je to verze Věty o sevření s absolutní hodnotou:

Uvažujme dvě funkce f a g takové, že f | ≤ g na nějakém prstencovém okolí bodu a.
Jestliže g→0 v a, pak také f →0 v a.

Abychom dostali srovnáním nenulovou limitu, potřebujeme dvě omezení:

Věta o sevření:
Uvažujme tři funkce f, g a h, které splňují f ≤ g ≤ h na nějakém omezeném okolí bodu a. Jestliže f konverguje k nějakému L v a a h konverguje ke stejnému L v a, pak také g konverguje k L v a.

Pro detaily viz sekce Limita a srovnání v části Teorie - Limita. Všechna tvrzení také platí pro jednostranná srovnání a jednostrané limity.

Výše uvedená tvrzení se nejčastějí používají z následujících dvou důvodů:

Důvod 1. Výrazy, které zkoumáme, obsahují části, které nemají limitu, ale jsou omezené - tedy něco, co osciluje. Nejtypičtějšími příklady jsou sinus a kosinus v nekonečnu.

Příklad: Ukážeme, že

Dosazení nekonečna nepomůže, protože sinus nemá limitu a tudíž nelze použít algebra limit. Nicméně sinus je omezený hodnotami −1 a 1, což naznačuje, že bychom měli zkusit sevření:

pro x > −1, tj. na okolí nekonečna.

Funkce nalevo konverguje k 1 v nekonečnu:

Funkce napravo jde také k 1 v nekonečnu (je to konstantní funkce 1), proto podle Věty o sevření také daná funkce konverguje k 1 v nekonečnu. Naši úvhu můžeme vyjádřit takto:

Důvod 2. Někdy srovnání umožní zjednodušit výrazy a tak dovolí vyhnout se komplikovanějším metodám.

Příklad: Víme, že pro x > 1 máme

V nekonečnu jde výraz napravo do nekonečna, proto podle srovnání tam jde do nekonečna také výraz nalevo. Kdybychom chtěli najít limitu výrazu nalevo v nekonečnu přímým výpočtem, museli bychom použít l'Hospitalovo pravidlo, což by nejspíše nebylo pěkné, nebo použít poněkud komplikovanější vytýkání vedoucích členů.


Srovnání se dělá ve dvou krocích:

Krok 1. Najdeme nějaké (nějaká) srovnání, tedy omezení pro danou funkci. Oscilující ale omezené členy mají přirozené meze, pomocí kterých lze algebraicky odvodit omezení pro celou funkci (jako v prvním příkladě). Často také dostaneme omezení tak, že ignorujeme určité části daného výrazu (jako v druhém příkladě).

Krok 2. Najdeme limitu omezující funkce (omezujících funkcí). Pak se podíváme, jestli je možný nějaká závěr pomocí výše uvedených tvrzení. Pamatujte, že Věta o sevření vyžaduje, aby obě omezující funkce šly ke stejné limitě.

V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě, tomto příkladě a tomto příkladě.


Další šuplík: pěkná vnější funkce
Zpět na Přehled metod - Limita