Příklad: Rozviňte danou funkci v mocninnou (Taylorovu) řadu s daným středem.

Řešení: Použijeme standardní postup. Vidíme, že když rozvineme ten kosinus, tak je to hlavní za námi, zbytek už se udělá snadno. Daná funkce tedy už má rozumný tvar a můžeme přejít k prvnímu kroku, změníme všechna x tak, aby se místo nich objevily výrazy

(x − (−π)) = (x + π).

Tady to je:

Kdybychom teď rozvinuli kosinus, tak by měla výsledná řada členy jako v jeho argumentu a nebyla by mocninnou řadou se středem -π. Potřebujeme se tedy zbavit toho "−3π" v kosinu, což je snadné pomocí příslušné identity. Podobně se musíme zbavit "-π" ve výrazu před kosinem, ten rozdělíme na dva.

Teď už jsme připraveni rozvinout kosinus pomocí řady pro cos(y), pak tu řadu přepíšeme, aby se v ní objevily (x + π). Také použijeme distributivní zákon a přesuneme výrazy, které byly před kosiny, do výsledné řady.

Všimněte si, že rozvoj kosinu platí pro všechna y = 3(x + π), z čehož plyne, že výsledek platí pro všechna x.

Výsledek je vyjádřen jako součet dvou mocninných řad, ale čeká se, že to bude jen jedna řada. V posledním kroku tedy obvykle spojíme obě řady do jedné. V tomto případě by to ale bylo dosti nepříjemné, protože jedna řada obsahuje pouze liché mocniny a druhá pouze sudé, takže se nepřekrývají. Kdybychom opravdu chtěli vytvořit jen jednu řadu, tak bychom do ní museli dát obecné koeficienty ak a pak popsat jejich hodnoty podle toho, zda je k sudé či liché, takže bychom to čtenáři rozhodně neulehčili, možná by to bylo i horší. V případě nepřekrývajících se řad je tedy tradičně necháváme, jak jsou.

Zde by se vlastně jedna věc udělat dala, každá řada má jeden člen společný s tou konečnou řadou vedle, jmenovitě se mocnina (x + π) vyskytuje také v druhé řadě a kontantní člen je také v první řadě. Můžeme tedy příslušné části oddělit z řad a spojit je. Víc už ale udělat nejde.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí