Příklad: Rozviňte danou funkci v mocninnou (Taylorovu) řadu s daným středem.

Řešení: Hyperbolický kosinus není funkce, jejíž řadu bychom si pamatovali. Potřebujeme tedy najít nějaké spojení mezi touto funkcí a kvartetem, který si pamatujeme. Když si to člověk nechá projít hlavou, měla by být odpověď jasná: cosh(x) se dá zapsat pomocí exponenciál.

Teď můžeme použít standardní postup. Střed 0 už je připraven, takže prostě exponenciály rozvineme pomocí řady pro ey.

Všimněte si, že exponenciální rozvoj platí pro všechna x a y = −x, z čehož plyne, že výsledek je platný pro všechna x.

Výsledek je ve tvaru součtu dvou mocninných řad, ale od nás se čeká jedna řada. Posledním krokem tedy obvykle je spojit řady tam, kde to jde. Zde je to vlastně velice snadné, protože obě řady mají stejné mocniny u x a stejné indexy. Můžeme tedy psát

Jaké jsou hodnoty koeficientů? Pro lichá k dostaneme 0, pro sudá k dostaneme v čitateli 2. V řadě se tedy vlastně vyskytují jen sudé mocniny a můžeme ji přepsat příslušným způsobem, namísto k budeme psát 2k.

Všimněte si, že je to prakticky stejné jako rozvoj pro kosinus, jen chybí alternující znaménka. Zkusíte si tipnout, jak vypadá rozvoj pro sinh(x)?


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí