Příklad: Rozviňte danou funkci v mocninnou (Taylorovu) řadu s daným středem.
Řešení:
Hyperbolický kosinus není funkce, jejíž řadu bychom si pamatovali.
Potřebujeme tedy najít nějaké spojení mezi touto funkcí a kvartetem, který
si pamatujeme. Když si to člověk nechá projít hlavou, měla by být odpověď
jasná:
Teď můžeme použít
standardní postup. Střed 0 už je
připraven, takže prostě exponenciály rozvineme pomocí řady pro
Všimněte si, že exponenciální rozvoj platí pro všechna x a
Výsledek je ve tvaru součtu dvou mocninných řad, ale od nás se čeká jedna řada. Posledním krokem tedy obvykle je spojit řady tam, kde to jde. Zde je to vlastně velice snadné, protože obě řady mají stejné mocniny u x a stejné indexy. Můžeme tedy psát
Jaké jsou hodnoty koeficientů? Pro lichá k dostaneme 0, pro sudá k dostaneme v čitateli 2. V řadě se tedy vlastně vyskytují jen sudé mocniny a můžeme ji přepsat příslušným způsobem, namísto k budeme psát 2k.
Všimněte si, že je to prakticky stejné jako rozvoj pro kosinus, jen chybí
alternující znaménka. Zkusíte si tipnout, jak vypadá rozvoj pro