Příklad: Rozviňte danou funkci v mocninnou (Taylorovu) řadu s daným středem.

Řešení: Arkus tangens není funkce, jejíž řadu bychom si pamatovali. Potřebujeme tedy najít nějaké spojení mezi touto funkcí a kvartetem, který si pamatujeme. Rozhodně z těchto čtyř funkcí nedostaneme arkus tangens algebraicky. Jedna možnost je použít Lagrangeův inverzní vzorec aplikovaný na arkus tangens coby interzní funkci k tangensu. Je to ale dost drsné (viz níže), takže si to necháme jako poslední zoufalou možnost.

Jak to vypadá s dalšími způsoby, jak funkce spojovat, třeba derivováním a integrováním? Derivace arkus tangensu je 1/(1 + x2), což je dosti blízké vzorci pro geometrickou řadu. Tento přístup vypadá mnohem lépe. Takže začneme tou derivací a připravíme si ji tak, aby zapadala do geometrického rozvoje, jmenovitě pořebujeme vytvořit "-" za "vedoucí 1" ve jmenovateli.

Teď použijeme geometrický rozvoj, všimněte si, že platí pouze pro |y| < 1, což znamená |x2| < 1 a tu druhou mocninu pak můžeme vynechat.

Abychom dostali arkus tangens, budeme integrovat. Jsou dvě možnosti. Jedna je integrovat pomocí určitého integrálu s proměnnou jako horní mezí (pak je dobré změnit proměnnou v našem rozvoji na t), což dává

 

Druhá alternativa je použít neurčitý integrál:

Potřebujeme určit C, ale to je snadné. Ona rovnost výše by měla platit pro všechna x splňující |x| < 1, takže si jedno takové x vybereme a dosadíme do obou stran. Zde se zdá x = 0 jako dobrý nápad, vyleze z toho rovnice 0 = C. Dostáváme tedy stejný rozvoj.

Poznámka: Jak bychom to řešili pomocí Lagrangeova inverzního vzorce? V našem případě dává

Derivace obecného řádu (k − 1) se nedá rozumně vypočítat, protože se neřídí nějakým rozumně zjistitelným vzorem, takže nejlepší, co se dá dělat, je spočítat prvních pár členů z počátku rozvoje. Všimněte si, že dosazování x = 0 do derivace se dělá v případě nutnosti skrz limitu (dělíme tam nulou, takže se hodně použije l'Hôpitalovo pravidlo).

Zdá se, že se to shoduje s naším výsledkem, ale jít dál by byla ztráta času, už i ta druhá derivace byla dost hnusná.

Bonus: Zde ukážeme, jak rozvinout tangens pomocí toho, že je to podíl dvou funkcí se známým rozvojem, tedy použitím metody neurčitých koeficientů. Začneme tím, že si napíšeme standardní rovnost pro tangens a pak v něm nahradíme funkce řadami. Protože tu správnou řadu pro tangens ještě neznáme, napíšeme tam obecnou řadu se středem 0.

Teď vynásobíme jmenovatelem a pak řady přepíšeme dlouhým způsobem, abychom lépe viděli, co se děje.

Když nalevo použijeme Cauchyho součin, tak uvidíme, jaké koeficienty jsou před jednotlivými mocninami xk, což se dá porovnat s odpovídajícími koeficienty napravo. Dostaneme rovnice

Vzor se zdá jasný. Indukcí určíme

Vidíme v tom nějaký pravidelný vzor? Popravdě řečeno, ne. Taylorova řada pro tangens je samozřejmě známa, ale její koeficienty používají něco zvané Bernoulliho konstanta, což rozhodně není snadné spočítat (a upřímně řečeno, s tím, co se zde probralo, se k ní nemáme šanci dostat). Metoda neurčitých koeficientů nám alespoň umožnila najít začátek tohoto rozvoje tangensu.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí