Příklad: Dokažte, že pro všechna reálná čísla x, y máme
Řešení: Uvažujme funkci
Potřebujeme tedy zjistit, jak velký je ten zlomek, ale ten výraz vypadá jako
něco z
Věty o střední hodnotě. Jsou
splněny její předpoklady? Vezmeme-li libovolná dvě čísla
Můžeme tedy odhadnout
Toto dokazuje naše tvrzení.
Poznámka: Pokud položíme v právě dokázaném odhadu
Pro x velká toto není příliš překvapující, neboť víme, že arctg je omezený a tedy x jej musí dříve či později přerůst, je ale zajímavé, že tento odhad funguje také pro malá x. Podobný odhad lze dokázat (analogickým postupem) pro funkci sinus.
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Věta o střední hodnotě