12: Po dosazení limitního bodu byste měli dostat typ 0⋅∞⋅∞. To je neurčitý součin a není vidět nějaký algebraický trik, takže by se měl použít standardní přístup: Změňte součin v podíl. Jsou tam teď ale tři členy. Co dělat?

Jsou v zásadě dvě možnosti. Jedna je vzít celou nekonečnou část "xln(x)" a "přesunout ji dolů". Výhoda je, že výsledný podíl bude určitě typu "nula nad nulou", takže lze použít l'Hospitalovo pravidlo; jinými slovy, nečíhá zrada (alespoň nakolik teď dohlédneme). Nevýhoda je, že výraz, který dostaneme ve jmenovateli, bude dost nepěkný a derivování jej jen zhorší.

Jaká je alternativa? Vzít jedno "nekonečno" stranou neboli rozdělit limitu na dvě. Například se dá vzít ten logaritmus ven, limita logaritmu je nekonečno. Druhá limita bude ta arkustangensová část násobená x, což je pořád neurčitý součin, ale teď mnohem jednodušší. Přesunem x "dolů" tam totiž vznikne x⁻¹, což se snadno derivuje. Jaká je nevýhoda tohoto přístupu? Poté, co vypočítáme ony dvě limity, se výsledky musí dát dohromady. První limita je nekonečno, takže kdyby druhá vyšla nekonečno nebo nějaké nenulové číslo, lze je spojit algebrou limit a vše je v pořádku. Kdyby ale druhá limita náhodou vyšla nulová, tak ty dva výsledky dají dohromady neurčitý součin a celá práce bude na nic, bude třeba zkusit něco jiného, například ten první postup popsaný výše.

Rozhodněte se, jak chcete. Autor je zbabělec a bude to hrát na jistotu, nápovědy budou sledovat méně riskantní (zato asi delší) první přístup. Kratší ale riskantnější způsob stručně omrkneme jako poznámku v další nápovědě. Zkuste to, zkuste také vytáhnout x, je to dobrý trénink.

Další nápověda
Výsledek