Zde se podíváme na následující problém: Potřebujeme najít limitu součinu
Standardní řešení je převést algebraicky součin na podíl. Pokud to uděláme tak, jak je ukázáno níže, pak tento podíl bude neurčitého typu a můžeme aplikovat triky ze šuplíku "neurčitý podíl", nejspíše l'Hospitalovo pravidlo.
Jak změníme součin ve zlomek? Zvolíme jeden ze členů v součinu a aplikujeme
trik "jedna děleno jednou dělenou"; víme totiž z algebry, že pro libovolné
nenulové A máme
Všimněte si, že v druhé variantě jsme vlastně podváděli, když jsme napsali
Co když máme jeden z těch netypických příkladů, kde l'Hospitala požít nejde? Jedna možnost je použít první verzi převodu na podíl. Pokud to není možné, pak máme vzácný případ, který je třeba řešit individuálně. Existuje trik, který by mohl pomoci, viz tato poznámka.
Většinou ale problémy nemáme.
Příklad:
Máme neurčitý součin, proto jej zkusíme změnit v podíl. Se kterou částí si
budeme hrát? Musíme vzít v úvahu dvě věci. Za prvé, část, se kterou si budeme
hrát, se změní, bude tam navíc složení s mocninou na
V tomto příkladu je tedy volba jasná. Budeme si hrát s částí x, protože x−1 je vlastně stejný druh výrazu, jmenovitě mocnina, takže derivováním zase dostaneme něco jednoduchého, mocninu. Část, kterou necháme být, ten logaritmus, je zase nahrazen po derivaci další mocninou, což je pěkný bonus.
Co se stane, když si zkusíme hrát s druhou částí součinu? Protože
Jak vidíte, nový výraz je ještě horší než s čím jsme začali, takže takhle to nepůjde. To naznačuje, že naše volba převodu na podíl rozhodne, zda uspějeme nebo ne.
V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě a tomto příkladě.
Další šuplík: neurčitý rozdíl
Zpět na Přehled metod - Limita