Cvičení - Globální extrémy a optimalizace; "related rates"
Začneme s přímočarými příklady na globální extrémy, pak se podíváme na
optimalizaci a nakonec uděláme nějaké
"related rates".
Pokud chcete během výpočtů nahlížet do Přehledu metod, klikněte si
sem
a objeví se nastálo ve velkém vedlejším okně. Podobně se
zde nabízí Teorie.
V následujících příkladech najděte globální extrémy dané funkce na dané
množině.
Vyřešte následující oprimalizační problémy.
- 10. Najděte reálné číslo x, které minimalizuje
2x + x2.
Nápověda
Výsledek
- 11. Najděte x, které minimalizuje
x + 100/x na množině kladných čísel.
Nápověda
Výsledek
- 12. Který z obdélníků o obvodu 40 má největší obsah?
Nápověda
Výsledek
- 13. Který bod na přímce
y = 2x + 2 je nejbližší k
počátku?
Nápověda
Výsledek
- 14. Který bod na hyperbole
x2/2 − y2 = 1
je nejbližší k bodu (3,0)?
Nápověda
Výsledek
- 15. Který obdélník vepsaný do kružnice o poloměru R má
největší obsah?
Nápověda
Výsledek
- 16. Který z obdélníků vepsaných do půlkružnice o poloměru R
má největší obsah?
Nápověda
Výsledek
- 17. Který s válců vepsaných do koule o poloměru R má
největší objem?
Nápověda
Výsledek
- 18. Chodba široká 3 m zatáčí do chodby široké 4 m, tyto dvě
chodby jsou navzájem kolmé. Jaký nejdelší trám dokážete protáhnout po
podlaze touto zatáčkou? Trám je tak tenký, že můžete ignorovat jeho šířku a
pracoval jen s úsečkou.
Nápověda
Výsledek
Poznámka: Ten trám vlečeme, abychom problém udrželi ve dvou dimenzích. Pokud
připustíme i jiné pozice, pak evidentně nejlepší způsob, jak jej nést, je
vléct jeden konec po zemi a druhý ať se dotýká stropu. Délka nejdelšího
trámu je pak dána délkou jeho projekce na zem - a jsme zpátky v oné 2D
situaci, na kterou se zde ptáme. Zadaný příklad tedy v zásadě řeší i obecnou
situaci.
Pokud žádný strop není, pak můžeme vzít trám libovolné délky - prostě jej
poneseme ve svislé poloze.
Pokud bychom také museli uvažovat šířku objektu - například pokud by otázka
zněla, jak dlouhý 1 m široký gauč proneseme, pak se problém stane podstatně
těžším, nikoliv ideově, ale výpočetně. Pokud jste zvědavi, podívejte se na
tuto poznámku.
Vyřešte následující příklady na "related rates".
- 19. Rybář sedí na břehu přímé řeky. Ryba zabere, když je od něj 2
metry přesně kolmo na břeh, a začne plavat podél řeky rychlostí
5 m/sec. Jak rychle se odvíjí vlasec?
Nápověda
Výsledek
- 20. Máme magický obdélník, u které můžeme natahovat/zmenšovat
jednu stranu a druhá se automaticky upraví tak, aby obsah zůstal stále
konstantně A. Jak rychle se jedna strana zkracuje, když natahujeme
druhou rychlostí k?
Nápověda
Výsledek
- 21. Stojíte u lampy, která má světlo 6 m nad zemí. Jste vysocí 2
metry. Začnete jít směrem od lampy rychlostí 1 m/sec. Jak
rychle se váš stín prodlužuje, když jste 4 m od lampy?
Nápověda
Výsledek
- 22. Lampa leží na zemi 10 m od svislé stěny. Dva metry vysoký muž
jde rychlostí 1/2 m/sec přímo od lampy k této zdi. Jak rychle
se mění výška jeho stínu, když je v polovině cesty? Zkracuje se stín nebo
prodlužuje?
Nápověda
Výsledek
- 23. Letadlo přelétá nad radarovou stanicí ve výšce
5 km, letí přímo rychlostí 780 km/h. Jakou
relativní rychlost naměří radar, když je letadlo 13 km daleko?
Nápověda
Výsledek
- 24. Kamera umístěná na zemi sleduje raketu, která vzlétla ze
startovní plošiny 1 km od kamery. Raketa letí přímo nahoru se zrychlením
10 m/sec2. Jak rychle se kamera otáčí vzhůru 20
sekund po startu?
Nápověda
Výsledek
- 25. Uvažujte trojúhelník s určitým úhlem a a přilehlými
stranami o délce 4. Jak rychle se mění jeho obsah, když začneme měnit a?
Nápověda
Výsledek
- 26. Žebřík 6 metrů dlouhý leží na zemi kolmo na svislou zeď,
jeden konec je hned u ní. Na tento konec přivážeme provaz a táhneme nahoru
podél zdi rychlostí 1/2 m/sec. Jak rychle se druhý konec
přibližuje ke zdi, když je ten s provazem v polovině cesty nahoru?
Nápověda
Výsledek
- 27. Žebřík 6 metrů dlouhý leží na zemi kolmo na svislou zeď,
jeden konec je hned u ní. Přivážeme provaz na opačný konec a taháme jej k
vrcholu zdi (která je také 6 metrů vysoká) rychlostí 1/2 m/sec,
čímž nutíme žebřík, aby se otáčel kolem přilehlého konce. Jak rychle se mění
úhel mezi žebříkem a zemí?
Nápověda
Výsledek
- 28. Pásový dopravník sype písek na hromadu rychlostí
0.1 m3/sec. Padající písek vytváří pravidelný kužel,
jehož výška je vždy stejná, jako poloměr jeho základny. Jak rychle roste
výška hromady, když je 2 metry vysoká?
Nápověda
Výsledek
- 29. Jedete s kamarádem na kole a na křižovatce se rozhodnete
rozdělit. Ony dvě cesty vás odvedou po přímých a kolmých směrech. Šlapete
rychlostí 20 km/h, váš přítel jede rychlostí
15 km/h. Jak rychle se vaše vzdálenost zvětšuje po 2 hodinách?
Nápověda
Výsledek
- 30. Dvě cesty vedou rovnoběžně a přímo 10 km od sebe.
Na každé cestě je auto, jedno jede rychlostí 50 km/h, druhé
rychlostí 56 km/h ve stejném směru. V čase 0 jsou na stejné
úrovni. Jak rychle se jejich vzdálenost zvětšuje po 4 hodinách?
Nápověda
Výsledek
- 31. Válec se valí dolů po svahu a cestou nabírá sníh, čímž se
zvětšuje jeho poloměr. Jak rychle roste jeho objem v závislosti na rychlosti
růstu poloměru?
Nápověda
Výsledek
- 32. Představte si kolo poháněné parním motorem systémem
píst-táhlo. Píst se pohybuje tam a zpět po přímce, na jeho konci je táhlo
4 metry dlouhé, jehož druhý konec je připevněn na okraj kola, které
má poloměr 1 metr. Střed tohoto kola je přesně v ose pístu. Kolo se otáčí
konstantní rychlostí tak, že se celá konstrukce pohybuje rychlostí
10 m/sec. Najděte relativní rychlost pístu vzhledem k motoru.
Nápověda
Výsledek
Zpět na Cvičení