Vlastnosti posloupností: Přehled metod

Pokud chcete nějaký text o základních vlastnostech posloupností sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.

Jsou dvě významné vlastnosti, na které se můžeme zeptat (tedy krome hlavní vlastnosti - konvergence): omezenost a monotonie.

Omezenost

Nejjednodušší způsob, jak rozhodnout o omezenosti posloupnosti, je podívat se na výraz |a_n| a zkusit dokázat, že existuje společná konstanta h taková, že pro všechna relevantní n (podle toho, kde začala indexace posloupnosti) platí |a_n| ≤ h.
Pro nalezení takového h není algoritmus, vše záleží na zkušenosti.

Omezenost zdola či shora se dělá podobně, podle předchozích zkušeností je třeba se rozhodnout, zda příslušné nerovnosti (a_n ≥ k pro omezenost zdola, a_n ≤ K pro omezenost shora) platí pro nějaká vhodná k, popř. K.

Příklad: Prozkoumejte omezenost posloupnosti .

Řešení: Nejprve se pokusíme omezenost dokázat. Existuje číslo h takové, že pro všechna přirozená n máme |n² − 4n + 3| ≤ h?
Funkce, která definuje danou posloupnost, je kvadratický polynom, jehož graf je parabola, v tomto případě parabola orientovaná nahoru. Protože uvažujeme přirozená čísla a ta jdou do nekonečna, z grafu se zdá, že hodnoty porostou nade všechny meze. Daná posloupnost tedy není omezená.
Víme nicméně, že taková parabola nejde neomezeně směrem dolů. Dokonce je snadné zjistit, že její vrchol má souřadnice (2,−1). Máme tedy nerovnost n² − 4n + 3 ≥ −1 platnou pro všechna n, což znamená, že daná posloupnost je omezená zdola.

Ani zde neexistuje algoritmus, který by určil monotonii. Standardní přístup je následující:

• Nejprve je třeba si tipnout, zda je nějaká monotonie. Zde lze použít zkušenosti, také pomáhá spočítat si prvních několik členů dané posloupnosti a z toho odhadnout.
• Pak je třeba dokázat příslušnou nerovnost, aby se potvrdil odhad, nejspíše pomocí algebry.

V případě, že je posloupnost dána funkcí, je možné zkoumat monotonii příslušné funkce a při troše štěstí dostaneme také odpověď a důkaz pro posloupnost (viz Posloupnosti a funkce v části Teorie - Limita).

Příklad: Určete monotonii posloupnosti .

Řešení: Spočítáme prvních pár členů: a₁ = 0, a₂ = 1/2, a₃ = 2/3, a₄ = 3/4. Vypadá to, že členy rostou, takže si tipneme, že daná posloupnost je rostoucí. Teď ten odhad musíme dokázat:
Chceme dokázat, že pro všechna přirozená čísla n platí nerovnost a_n < a_n+1. Dosadíme a uvidíme:

Operace byly ekvivalentní a poslední řádek evidentně platí, takže platí také ten první a důkaz je hotov.

Alternativní řešení: Posloupnost je dána funkcí f (x) = 1 − 1/x. K určení její monotonie najdeme její derivaci: f ′(x) = 1/x². Protože derivace je vždy kladná, funkce f je rostoucí na intervalu (0,∞), který zahrnuje všechna přirozená čísla; proto je také daná posloupnost rostoucí.

Dva další příklady posloupností z pohledu omezenosti a monotonie lze nalézt v části Řešené příklady - Základní vlastnosti.