Pokud chcete nějaký text o základních vlastnostech posloupností sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.
Jsou dvě významné vlastnosti, na které se můžeme zeptat (tedy krome hlavní vlastnosti - konvergence): omezenost a monotonie.
Nejjednodušší způsob, jak rozhodnout o omezenosti posloupnosti, je podívat
se na výraz
Pro nalezení takového h není algoritmus, vše záleží na zkušenosti.
Omezenost zdola či shora se dělá podobně, podle předchozích zkušeností je
třeba se rozhodnout, zda příslušné nerovnosti
Příklad: Prozkoumejte omezenost posloupnosti .
Řešení: Nejprve se pokusíme omezenost dokázat. Existuje číslo h
takové, že pro všechna přirozená n máme
Funkce, která definuje danou posloupnost, je kvadratický polynom, jehož graf
je parabola, v tomto případě parabola orientovaná nahoru. Protože uvažujeme
přirozená čísla a ta jdou do nekonečna, z grafu se zdá, že hodnoty porostou
nade všechny meze. Daná posloupnost tedy není omezená.
Víme nicméně, že taková parabola nejde neomezeně směrem dolů. Dokonce je
snadné zjistit, že její vrchol má souřadnice
Ani zde neexistuje algoritmus, který by určil monotonii. Standardní přístup je následující:
V případě, že je posloupnost dána funkcí, je možné zkoumat monotonii příslušné funkce a při troše štěstí dostaneme také odpověď a důkaz pro posloupnost (viz Posloupnosti a funkce v části Teorie - Limita).
Příklad: Určete monotonii posloupnosti .
Řešení: Spočítáme prvních pár členů:
Chceme dokázat, že pro všechna přirozená čísla n platí nerovnost
Operace byly ekvivalentní a poslední řádek evidentně platí, takže platí také ten první a důkaz je hotov.
Alternativní řešení: Posloupnost je dána funkcí
Dva další příklady posloupností z pohledu omezenosti a monotonie lze nalézt v části Řešené příklady - Základní vlastnosti.