Stolz-Cesarova věta

Tato věta má více verzí. Začneme s tou, na které je nejlépe vidět, proč by měla platit.

Věta (Stolz-Cesaro).
Nechť {a_n}_n≥n0 a {b_n}_n≥n0 jsou posloupnosti kladných čísel. Předpokládejme, že  ∑ b_n = ∞. Jestliže má posloupnost {a_n / b_n} limitu, pak

Proč by to mělo platit? Podívejme se na případ, kdy má podíl a_n / b_n konečnou limitu L. Pro velká n pak máme a_n / b_n ∼ L. To znamená, že a_n ∼ L⋅b_n. Proto

Jeden problém je, že můžeme nahrazovat a_i pomocí L⋅b_i pouze pro velká i. Právě tady přijde vhod druhý předpoklad. To, že je součet b_i nekonečný, znamená, že první členy v těch součtech nehrají ve výsledku roli.

Větu lze zformulovat jiným způsobem. Dostaneme se tak k tradiční podobě.

Věta (Stolz-Cesarova věta).
Nechť {a_n} a {b_n} jsou posloupnosti reálných čísel. Předpokládejme, že {b_n} je ryze rostoucí a jde do nekonečna. Jestliže limita

existuje, pak

Tato věta také platí pro případ, že je {b_n} ryze klesající a jde do mínus nekonečna, což uvidíme, když ji aplikujeme na −a_n a −b_n. Jak víme, že ty dvě věty výše říkají totéž? Označme A_n = a_n+1 − a_n a B_n = b_n+1 − b_n. Platnost Stolz-Cesarovy věty pak plyne aplikováním první věty výše na čísla A_n, B_n a naopak.

Tato věta je jakousi obdobou l'Hospitalova pravidla pro svět posloupností. Představme si případ, kdy jsou posloupnosti dány funkcemi jako v sekci Posloupnosti a funkce, například že a_n = f (n). Pak můžeme přejít na limitu funkce a l'Hospitalovo pravidlo vyžaduje znalost derivace f ′. Tuto derivaci je možné aproximovat podíly

Očekáváme, že lepší aproximace dostáváme pro malá h. Pokud se na tuto situaci podíváme očima posloupností, tak můžeme dosazovat jen celá čísla a nejmenší h je tedy 1:

Podíl na pravé straně ve větě je tedy přibližná náhrada podílu derivací v l'Hospitalově pravidle. V této úvaze byly samozřejmě docela velké díry, takže je to jen takový příběh, který má trochu osvětlit situaci, nikoliv správné matematické odvození. Každopádně budeme dál pokračovat touto stezkou a podíváme se také na verzi pro případ "nula nad nulou".

Věta.
Nechť {a_n} a {b_n} jsou posloupnosti reálných čísel. Předpokládejme, že {b_n} je ryze monotonní a obě posloupnosti jdou k nule. Jestliže limita

existuje, pak

Na rozdíl od l'Hospitalova pravidla nám Stolz-Cesarova věta moc nepomůže s běžnými příklady na limitu. Může být velmi užitečná při zkoumání určitých speciálních limit a zejména má zajímavé teoretické dopady, užitečné verze a důsledky.

Důsledek.
Nechť {a_n} je posloupnost reálných čísel. Jestliže má limitu, pak

Důsledek.
Nechť {a_n} je posloupnost kladných reálných čísel. Jestliže má limitu, pak

Důsledek.
Nechť {a_n} je posloupnost kladných reálných čísel. Jestliže má {a_n+1 / a_n} limitu, pak

Zpět na Teorie - Limita