Harmonická řada

Zde se podíváme na harmonickou řadu. Abychom vyšetřili její konvergenci, případně našli její součet, potřebujeme prozkoumat posloupnost jejích částečných součtů:

Tuto posloupnost je také možné definovat rekurzivně:
(1) s1 = 1,
(2) sn = sn−1 + 1/n, pro n = 2,3,4,...

Protože každý další člen se získá přičtením kladného čísla k předchozímu, tato posloupnost je rostoucí. Jsou tedy dvě možnosti. Buď je tato posloupnost omezená a konverguje, nebo není omezená shora a jde do nekonečna. Co je správná odpověď?

Je snadné napsat jednoduchý program pro počítač či programovatelnou kalkulačku, který nám spočítá n-tý člen této posloupnosti. Pak dostaneme například toto:

s100 = 5.18738,
s1000 = 7.48548,
s10000 = 9.78761.

Co se stane, když zkusíme trik s následnými členy? Například s1000000 = 14.35736 (šest nul v indexu) a s1001000 = 14.35831. Čověk by si tipnul, že tato posloupnost konverguje a limita je nejspíš zhruba 14.36. Není ovšem těžké ukázat, že ve skutečnosti sn > ln(n), takže tato posloupnost jde do nekonečna.

Pokud máte pocit, že tento příklad je příliš jednoduchý a prokoukli byste jej, vytáhněte kalkulačku a zkuste dosadit pár čísel do an = ln(ln(ln(ln(n)))). Například a1000000000 = 0.1034383 (devět nul v indexu), a když zdvojnásobíme index, dostaneme a2000000000 = 0.1131257. Největší číslo v mé kalkulačce je 10 na 99. Pokud to použiju jako n, dostanu an = 0.52578301. Neřekli byste, že tato posloupnost konverguje a nejspíš se nikdy nedostane nad 1? Ve skutečnosti jde také do nekonečna.