Důležité příklady

Zde ukážeme dva základní příklady řad - geometrickou řadu a p-řadu. Jsou dost důležité, protože mnohé testy konvergence tyto dva typy používají jako referenci. Na závěr se podíváme na alternující řady.

Geometrická řada

Geometrickou řadu dostaneme, když sečteme geometrickou posloupnost (viz Posloupnosti - Teorie - Úvod - Důležité příklady).

Definice.
Geometrickou řadou rozumíme libovolnou řadu ve tvaru

pro nějaké reálné konstanty a a q.

Toto je nejobecnější definice, ale mnozí lidé dávají přednost práci s řadami ve tvaru . Vlastně stačí znát jen tyto řady, protože libovolná řada z naší definice se na tuto jednodušší dá snadno převést. Konstanta a se dá vytknout z řady, takže její chování neovlivní, a nakonec ji zase můžeme zahrnout do výsledku, který dostaneme bez ní. Druhý problém k vyřešení je změnit indexaci tak, aby začala v 0. To se dá udělat vytknutím nejmenší mocniny z řady a pak přeindexováním substitucí.

Proč to funguje uvidíme lépe, když si řadu rozepíšeme dlouhým způsobem, pak je to vlastně jasné.

Jak vidíme, tento vytýkací trik závisí silně na tom, že členy této řady jsou mocniny se shodným základem, jinými slovy, nebude fungovat u jiných řad než geometrických (či jim velmi podobných). Ale zpět k tématu: Protože se ona obecnější forma snadno převede na tu jednodušší a je to nuda ji psát, nadále budeme vždy pracovat s tou přátelštější, jednodušší formou geometrické řady.

Geometrická řada je velmi populární, protože o ní všechno víme. Všimněte si, že všechny příklady v první sekci (viz Úvod) byly geometrické řady. Volba q = 0 totiž dává řadu , volba q = 1 dává řadu a volba q = −1 dává řadu . No a volba q = 1/2 dává tu opravdu zajmavou řadu . Co se tedy dá říct o geometrické řadě? Za prvé, pomocí matematické indukce hravě dokážeme, že pro částečné součty máme následující vzorce (pro q různé od 1):

Pro q = 1 máme s_N = N + 1, to plus jedna tam je, protože indexování začíná v 0, takže s_N je součet N + 1 jedniček. Přechodem do nekonečna s N dostaneme následující tvrzení.

Už jsme ukázali, že stačí znát vzorce pro řadu, jejíž index začíná v 0, ale někteří lidé neradi blbnou s algebrou a raději si pamatují obecnější vzorce.

Je šest základních typů geometrických řad, odpovídají typům popsaným v sekci Důležité příklady v části Posloupnosti - Teorie - Limita.

V této části budeme uvažovat řady typu , kde p je parametr. Hned se naskýtá otázka, proč píšeme řadu takto, se členy jako zlomky; proč ony členy nenapíšeme jednodušeji jako k^q? Důvodem je, že chceme mít p > 0, abychom nemuseli blbnout se znaménky.

Když se totiž podíváme na p-řadu (ve tvaru napsaném výše) a zeptáme se, co se stane s jejími členy pro p < 0, pak je odpověď jasná. Posloupnost {1/k^p} jde do nekonečna a proto řada diverguje podle nutné podmínky. Podobně pro p = 0 dostaneme divergentní řadu, jejíž členy jsou všechny 1. Jediný zbývající případ, kdy je šance na konvergenci řady, je tedy pro p > 0, protože pak jdou členy 1/k^p k nule. Při naší volbě členů tedy pracujeme téměř výhradně s kladnými p. Poznamenejme nicméně, že pro záporná celá čísla p nás někdy velmi zajímají částečné součty, viz příští sekce.

Co se děje, když uvažujeme kladné p? Všimněte si, že když zvyšujeme p, tak se čísla 1/k^p zmenšují; to znamená, že sčítáme menší čísla a řada má větší šanci konvergovat. Představte si, že začneme s p = 0, kde řada diverguje, a začneme zvětšovat p, čímž zvyšujeme naše šance na konvergenci. Budeme mít štěstí, nebo jsou všechny p-řady divergentní? Ukazuje se, že jak zvětšujeme p, tak existuje hraniční hodnota, ve které se divergence mění v konvergenci.

Fakt ( p-test).
Jestliže p > 1, pak řada   konverguje.
Jestliže p ≤ 1, pak .

Důkaz tohoto extrémně užitečného p-testu plyne snadno z integrálního kritéria, viz Teorie - Testování konvergence. Je samozřejmě důležité si tento test pamatovat, ale některé řady jsou tak užitečné, že je dobré je znát nazpaměť. Protože jsou tak populární, naznačíme zde elementární důkazy jejich konvergence/divergence bez použití p-testu.

Příklad: Uvažujme řadu .
p-test říká, že tato řada konverguje ( p = 2 > 1).

V příští sekci budeme mluvit o tom, jak je těžké sečíst řadu. Tato řada není žádnou výjimkou, dá to docela dost práce ukázat, že ve skutečnosti

Protože jsou všechny členy této řady kladné, tak automaticky konverguje absolutně a tudíž máme konvegenci pro všechny modifikace znamének. Když tedy například změníme tuto řadu v řadu alternující, dostaneme konvergenci a další zajímavý výsledek.

Bonus: Elementární důkaz, že řada čísel 1/k² konverguje.

Teď se zdá, že by řada měla konvergovat a součet by neměl překročit 2. Je tomu opravdu tak, rigorózní důkaz lze dostat mírným dopracováním našeho odhadu (viz teleskopická řada v následující sekci a srovnávací kritéria v části Teorie - Testování konvergence).

Příklad: Uvažujme řadu .
p-test říká, že tato řada diverguje ( p = 1), je to vlastně hraniční případ. Je dost důležitá a říká se jí harmonická řada, protože její členy dávají relativní vlnové délky harmonických tónů na struně. Mimo jiné je každý její člen harmonickým průměrem obou sousedních členů. Budeme si pamatovat, že

Částečným součtům harmonické řady se říká harmonická čísla a značí se H_n. Jejich přesné hodnoty nejsou známy, přestože už do jejich zkoumání bylo investováno dost výzkumu. Harmonická řada je docela zajímavá, protože když z ní uděláme alternující řadu, stane se konvergentní, viz Leibnizovo kritérium (v části Teorie - Testování konvergence). Dokonce víme, jaký je její součet (viz příští sekce),

Tato alternující řada konverguje, ale když její členy zavřeme do absolutní hodnoty, dostaneme divergující harmonickou řadu. Je to tedy ukázkový příklad neabsolutně konvergentní řady.

Bonus: Elementární důkaz divergence harmonické řady. Tento důkaz je prý jedním z vrcholů středověké matematiky.

Viz také tato poznámka.

Poznámka: Máme teď pěknou příležitost zdůraznit jeden klíčový rozdíl. Když máme hromadu čísel a_k, můžeme z nich vyrobit dva různé objekty, posloupnost a řadu. Tyto dva nemusí mít stejné vlastnosti. Například čísla 1/k coby posloupnost konvergují (k 0), ale když z nich uděláme řadu, je divergentní (ta harmonická řada výše). Je tedy důležité vždy specifikovat, co myslíme. To je obzvláště důležité v situaci, kdy pracujeme s řadou i s posloupností (což je častý případ při testování konvergence řady), docela často student napíše "to konverguje" a není jasné, zda "to" znamená posloupnost nebo řadu. Pokud budete vždy říkat "tato posloupnost konverguje/diverguje," "tato řada konverguje/diverguje," bude to v pohodě.

Poznámka týkající se vybraných řad: Všimněte si, že řada v prvním příkladě (ta s 1/k²) je vlastně vybranou řadou řady harmonické. Stačí totiž vzít harmonickou řadu a pak posčítat jen členy s koeficienty k z množiny A druhých mocnin a dostaneme tu první řadu. To ukazuje, že můžeme začít s divergentní řadou a dostat řadu konvergentní tím, že vybereme jen některé členy. To vlastně zní docela rozumně, jestliže řada diverguje, protože jsme zkusili nasčítat příliš velká čísla, tak rozhodně naše šance vylepšíme, když některá z nich vynecháme.

Trochu více překvapivý je fakt, že to také může fungovat naopak. Víme například, že alternující harmonická řada konverguje. Když z ní ale vytáhneme každý druhý člen, dostaneme divergentní řadu

Důkaz její konvergence je snadný pomocí limitního srovnání.

Jménem alternující řada označíme libovolnou řadu, u jejichž členů se pravidelně střídají znaménka, tedy znaménka jdou ...+ − + − + − +... Formálně řekneme, že alternující řada je řada, která se dá vyjádřit jako  ∑ (−1)^kb_k, kde všechna b_k jsou kladná. (Viz také Alternující posloupnost v části Posloupnosti - Teorie - Úvod - Důležité příklady).

Všimněte si, že někdy máme přirozené vyjádření řady, které má (−1)^k+1b_k namísto (−1)^kb_k (viz příklady výše). To ovšem není problém, taková řada je také alternující, mimo jiné protože ji lze přeindexovat tak, aby splňovala "správnou" definici. Jednu takovou zmenu indexace ukazujeme v příkladě na Leibnizovo kritérium v části Teorie - Testování konvergence.

Alternující řady se objevují docela často a (relativně) snadno se s nimi pracuje, viz ono už zmíněné Leibnizovo kritérium či poslední Fakt v sekci Aproximace řad v části Teorie - Úvod do řad.

Sčítání řad
Zpět na Teorie - Úvod do řad